二步迭代法在中心仿射H?lder條件下的收斂性*

徐秀斌, 周文靜

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設X,Y是Banach空間,D?X是一個非空開凸子集,F:D?X→Y為非線性算子,且有連續的Fréchet導數F′,本文考慮非線性算子方程

F(x)=0

(1)

的求解問題.求解上述非線性算子方程最經典的方法是Newton法,取定初始點x0∈D,其迭代過程為

xk+1=xk-F′(xk)-1F(xk),k=0,1,….

(2)

在非線性算子F的一階Fréchet導數連續且滿足Lipschitz條件的情況下,Newton法的收斂階為2.由于廣泛的應用背景,眾多學者對Newton法的收斂性做了大量研究,得到了各種收斂條件，如文獻[1-5]中所述.

文獻[4]給出了L平均的徑向Lipschitz條件:

(3)

文獻[5]在文獻[4]的基礎上提出了更一般的L平均仿射徑向H?lder條件:

(4)

在條件(4)下證明了Newton法(2)的局部收斂性,得到了收斂階為1+p和解的唯一性.

有些學者對Newton法進行了修正,如文獻[6-10]研究了如下的二步迭代法:

(5)

受以上文獻啟發，本文假定F′,F″分別滿足L平均中心仿射H?lder條件和L平均Lipschitz條件:

(6)

式(6)中:x,y∈B(x*,r);ρ(x)=‖x-x*‖;p∈(0,1];L1,L2是正的單調非減可積函數.本文將利用條件(6)證明方法(5)的局部收斂性,并給出收斂階和解的唯一性.

1 局部收斂性分析

為證明局部收斂性定理,先引入如下引理，其中的1)和2)引自文獻[10]，3)引自文獻[5].

定理1設F(x)是一個非線性算子,D是非空開凸子集,F:D?X→Y.假定

1)F(x)=0有解x*∈D,F′(x*)存在且可逆;

2)在B(x*,r)?D內F′,F″存在,且分別滿足L平均中心仿射H?lder條件和L平均Lipschitz條件(6);

3)r>0且滿足

(7)

4)r0,r1∈(0,r),并且是下面方程組的解:

(8)

進一步,其誤差估計滿足:

(9)

設x,y∈B(x*,r),則由式(6)和式(7)可得

(10)

由文獻[10]中的引理1得

故

且

根據引理1、式(6)和式(7)有

所以,

‖xk+1-x*‖≤

(11)

因此,

(12)

式(12)中,Zk=ρ(xk)+ρ(yk)+ρ(xk+1).式(11)說明數列{‖xk-x*‖}單調遞減且有界,所以極限存在.下證其極限為0.設極限為α(0≤α

下證R收斂階.由式(11)和式(12)可得:

ρ(xk+1)≤Jρ(xk)3+Cρ(xk)ρ(yk)p,k=0,1,2,…;

ρ(yk+1)≤[Jρ(xk+1)2+E(ρ(xk)+ρ(yk)+ρ(xk+1))p]ρ(xk+1)≤

2 解的唯一性

定理2假設F(x*)=0,F在B(x*,r)內有連續的導數,F′(x*)-1存在,且F′滿足L平均中心仿射H?lder條件

其中:ρ(x)=‖x-x*‖;L是正的非減可積函數.若r滿足

則方程F(x)=0在B(x*,r)的解唯一.

證明 對任意的x0∈B(x*,r),引入迭代法

xk+1=xk-F′(x*)-1F(xk),k=0,1,2,…,

(13)

則

x1-x*=x0-x*-F′(x*)-1(F(x0)-F(x*))=F′(x*)-1[F′(x*)(x0-x*)-F(x0)+F(x*)].

因此，當ρ(x0)≠0時,

其中,

由數學歸納法易證

3 結 語

方程組(8)有一組解為r1≈0.32,r2≈0.49,且x0∈B(x*,r0),y0∈B(x*,r1).在今后的工作中可考慮怎樣簡化定理1的條件.