細長鋼桿受壓穩定分析

(華南理工大學 廣東 廣州 510000)

隨著我國國民經濟的迅猛發展，各種復雜體型的鋼結構應運而生，然而，鋼結構常存在失穩屈曲問題，人們開始對大跨度鋼析架施工過程中所表現出的諸多力學及技術問題愈來愈重視。其中，細長鋼桿受壓失穩分析是非常具有代表性的問題。[1]

非線性分析，尤其是幾何非線性分析在很多情況下是去估算一個結構在失去穩定性前所能承受的最大載荷。線性屈曲分析方法主要通過小位移線性理論假設建立彎曲平衡方程。小位移線性理論假設在結構受載變形過程忽略了結構的構形變化，因此外載施加各個階段，總是在結構未受載時的構形上產生平衡，當屈由產生時，結構構形突然跳到另一個平衡位置。[2]嚴格說來，一個受載結構僅在變形后的位置上才處于靜平衡狀態，從加載一開始就出現了幾何非線性的特性。曲線是非線性的，一直達到極限，這種在結構變形所有過程中，在變形后構形上考慮平衡一直達到極限的方法稱非線性屈曲或稱極限屈曲。

在工程實際中分校屈曲現象實為罕見，它僅出現在完全無結構缺陷，完全沿軸向加壓的絕對直桿情況下，分枝屈曲現象雖然罕見，但實際中有不少結構屈曲狀態接近分枝屈曲。而分校屈曲的計算工作量又遠小于計算極限屈曲的工作量。況且，不少作者得出結論，一些中等非線性的屈曲性態，可以用線性屈曲問題特征矢量的線性組合近似得到。因此線性屈曲理論還是有其實際價值。

但經典的線性屈曲理論存在精度差的缺點，在實際應用中還存在適用范圍窄的限制。由于數字計算機與有限元法的迅速發展，計算工作盤已不成為一個嚴重制約因素，因而近年來研究者的注意力多轉向了非線性屈曲的領域。非線性屈曲的基本求解方法是逐步施加外載增量。

一、鋼材本構關系

鋼材本構關系的模型對失穩屈曲的分析有重大影響。在建立本構關系時一般都是基于現有的連續介質力學本構理論，再結合鋼材的力學特性，確定甚至調整本構關系中各種所需的材料參數。通常鋼材的本構關系可以分為線性彈性階段和應變強化階段。其中非線性階段的強化理論有眾多研究成果，成形中常用硬化模型可分為各向同性硬化和隨動硬化。

各向同性硬化認為后繼屈服面相對初始屈服面只發生大小的變化而位置不變。但該類模型只能描述單一應變路徑下的屈服面相似變化，無法描述應變路徑改變時材料的包辛格效應和交叉效應。

與各向同性硬化模型不同的是，隨動硬化模型只考慮屈服面的位置移動，不考慮屈服面大小的變化。隨動硬化模型避免了各向同性硬化模型無法描述包辛格效應的缺點，很快得到了廣泛的應用，如線性隨動硬化、多曲面硬化模型、Armstrong-Frederic非線性隨動硬化模型。以及在Armstrong-Frederic 模型基礎上改進的Chaboche 系列非線性隨動硬化模型。因此在Ansys Workbench中有以下5中定義材料非線性硬化方式。

(1)雙線性各向同性硬化。(2)多線性各向同性硬化。(3)雙線性隨動硬化。(4)多線性隨動硬化。(5)Chaboche隨動硬化。

二、幾何非線性

屈曲的含義可簡述為：結構處于一種平衡狀態，載荷增量為一個微量，其位移增量很大。用方程來表達這種物理現象，則由總體拉格朗日列式法建立的結構剛度方程

[KT]d{δ}=0

(2-1)

根據屈曲含義

[KT]=[K0]+[Kσ]+[KL]

(2-2)

將式(2-2)代入(2-1)得

([K0]+[Kσ]+[KL])d{δ}=0

(2-3)

在線性屈曲情況下，屈曲前結構處于原始位形的線性平衡狀態，因此上式中的大位移矩陣[KL]應為零，此時式(3-3)簡化為

([K0]+[Kσ])d{δ}=0

(2-4)

(2-5)

代入式(2-4)，則有

(2-6)

可以看出式(2-6)是一個廣義特征值方程，也是經典彈性穩定理論的最后控制方程。

實際求解時可按以下步驟進行：

(1)按線彈性問題的有限元法形成各單元的剛度矩陣[k0]，并用常規方法組裝成結構剛度矩陣，即[K0]=∑[k0]。

(2)對結構施加參考載荷{Fr}，并求解有限元方程[K0]{δ}={Fr}，進而可求得各單元節點應力。

值得指出的是，由式(2-6)所表征的線性屈曲問題，是建立在下述假設的基礎上的，即假設線性應變剛度矩陣在屈曲前不產生明顯的變化，且初應力矩陣簡單地與應力水平成正比。如前所述，這在實際問題中是很罕見的。由式(2-6)所確定的極值載荷只能是近似的。由于線性屈曲理論存在精度差，以及適用范圍窄的限制，所以，在一般情況下，應當用切線剛度矩陣[KT]來研究這個問題。當[KT]d{δ}≡0時，發生隨遇平衡。顯然，這里應該用逐次逼近的方法進行求解。

三、計算模型

分析一個內徑為40mm，外徑為50mm長為2000mm的細長圓鋼管，鋼材為Q235鋼，桿一端為基礎固接，另一端受軸心壓力作用。在AnsysWorkbench中建立如圖4-2所示的實體模型。非線性分析時，在一秒時間內把軸心壓力加到30kN。算例的截面特性為：

長細比：λ=l0/i=2000/12.93=154.68

長細比大于150，屬于細長桿件，進行桿件穩定分析。

分根據析結果，一階線性屈曲應力為23846N，非線性屈曲分析折算結果為24029N結果較接近。