關于DVD在線租賃決策問題研究

(重慶交通大學經濟與管理學院 重慶 400074)

一、引言與原始數據

(一)引言

隨著信息時代的到來，網絡成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網站利用其強大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業化和便捷化的服務。例如,在線DVD租賃問題,即顧客繳納一定數量的月費成為會員，訂購DVD租賃服務。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網站會根據手頭現有的DVD數量和會員的訂單進行分發。

(二)原始數據

現規定，每個會員每個月租賃次數不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網站提供的信封里寄回(郵費由網站承擔)，就可以繼續下次租賃，為了使在線DVD租賃更好的服務大眾，我們需要對下列問題進行討論。

1.網站正準備購買一些新的DVD，通過問卷調查和歷史數據得到了會員對DVD的租賃情況。假設網站現有10萬個會員，對表1中的每種DVD來說，在租賃公司的能力范圍內，求解能保證希望看到該種DVD的會員中至少50%在一個月內能夠看到該種DVD和三個月內至少95%的會員能夠看到該種DVD應該準備的張數；

2.根據表2中列出的網站上100種DVD的現有張數和當前需要處理的1000位會員的在線訂單，對這些DVD進行合理的分配，使會員獲得最大的滿意度并具體列出前30位會員(即C0001—C0030)獲得的DVD的情況。

3.在表2的基礎上假設表2中DVD的現有數量全部為0。如果你是網站經營管理人員，在考慮公司收益的情況下，決定每種DVD的購買量。

4.如果你是網站經營管理人員，明確提出在DVD的需求預測、購買和分配中其他的值得研究的重要問題并建立相應的數學模型。

表1 對1000個會員調查的部分結果

表2 現有DVD張數和當前需要處理的會員的在線訂單

二、模型的假設與符號的約定

(一)模型的假設與說明

(1)假設每個月都是30天。

(2)假設每月租賃DVD一次的會員的租賃與歸還日期介于每月1—30號之間，每月租賃DVD兩次的會員的租賃與歸還日期介于每月1—15號和16—30號 之間。

(3)假設每一位會員第一次租的碟片和第二次租的碟片完全不相同。

(4)假設碟片郵寄回來后不影響下一次租賃。

(5)不考慮DVD在租賃過程中的丟失、破損等情況。

(二)符號的約定與說明

X1每月租賃DVD一次的會員

X2每月租賃DVD兩次的會員

E(X1) 每月租賃一次的會員所租賃的DVD的平均流通天數

E(X2) 每月租賃兩次的會員所租賃的DVD的平均流通天數

E(X) 兩種情況下碟片的平均流通天數

E1(X) 每張碟片一個月內的平均流通天數

E3(X) 每張碟片三個月內的平均流通天數

xij第i位會員選擇第j種碟片

pij第i位會員對第j種碟片的滿意度

Cij每種碟片的滿意度

B總的碟片的滿意度

S總的應該購買的碟片數

bj每種碟片應該購買的碟片數

三、問題的分析

(一)問題1的分析

對于問題一主要是解決在已知會員的人數的情況下，要使網站以準備最少的5種類型DVD的張數，來保證希望看到各種DVD的會員中至少50%在一個月內能夠看到該DVD和至少95%的會員在三個月內能夠看到該DVD這兩個問題，利用概率論中均勻分布的相關知識可以解決該類問題。根據已知，首先確定兩種租賃方式下碟片的平均流通天數，再按照兩種租賃方式下會員的比例，可以確定每張碟片的平均流通天數，再根據每種碟片愿意觀看的會員人數就可以確定每種碟片應該準備多少張。

(二)問題2的分析

對于問題二是對表2給出的100種DVD現有張數以及1000位會員的訂單數對DVD進行分配，使會員獲得最大的滿意度，可建立0—1整數規劃模型來進行處理，其中各名會員是否獲得了各DVD類型為0—1變量，又因為會員的滿意度跟會員的偏愛程度有關，表2中會員的在線訂單數表示會員的偏愛程度，數字越小表示會員的偏愛程度越高，只需將會員所分配到不同種類的DVD所對應的訂單數字求和取最小值，即滿意度越大，所建立的目標函數的值越小。在這里又存在一個問題，由于數字0表示對應的DVD當前不在會員的在線訂單中，所以為了避免出現結果為0的情況，我們把0改成100，這樣就可以算出最小值從而達到對這些碟片進行合理的分配獲得最大的滿意度同時排除了結果不存在的可能性。

(三)問題3的分析

對于這個問題，本質上是雙目標規劃，我們采取逐步解決的方法，計算出DVD的購買量。對于第一小問如何決定DVD的購買量，我們注意到要購買滿足題目要求的DVD張數，至少有950人可以得到滿意的碟片，為此需要2850張碟片，又因為會員租賃碟片的情況有兩種即一個月租賃一次和一個月租賃兩次。要使一個月租賃兩次的會員在第二次租賃時可以收到使自己滿意的碟片，所以總共需要準備的碟片張數為2850+2850*0.4=3990張。在表2中會員對DVD的滿意程度，由于數字越小，滿意程度越大，因為有0的存在，為了避免結果不存在的情況(同問題2)，該題我們首先分別將表格中的1-10的對11的補數代替它們本身，這樣數字越大就表示滿意度越大，再分別求出每種碟片的滿意度之和，然后求所有種碟片的總滿意度，再根據每種滿意度之和占總滿意度的比例，就可以求得每種碟片的購買量。

(四)問題4的分析

因為大多數項目的最終目的就是為了盈利，為了更好的盈利和服務會員，每個月需要新增碟片，而在DVD在線租賃這個過程中，需要考慮到，碟片破損，會員逾期交費[1]等問題。因此我們想到的是在考慮這些不定因素的基礎上計算當月的收益。

四、模型的建立與求解

(一)問題1的模型建立與求解

對于問題1，我們利用概率論中的均勻分布[2]，通過求數學期望得到兩種租賃方式下每種碟片的平均流通天數以及兩種比例下會員的租賃的碟片的平均流通天數：

通過得到的一個月內每張碟片的平均流通次數以及愿意觀看的每種DVD的會員人數，根據表1，計算可得保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內能夠看到該DVD至少應該準備的碟片數:

DDVD1=(200÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD2=(100÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD3=(50÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD4=(25÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD5=(10÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

最終結果為:

DVD1≈3704;

DVD2≈1852;

DVD3≈926;

DVD4≈463;

DVD5≈185;

同理可得為使在三個月內至少95%的會員能夠看到該DVD應該準備的碟片張數:

(二)問題2的模型建立與求解

對于問題2，由于1位會員可以選擇3張DVD，若第i位會員選擇第j種DVD記為xij,則xij=1否則xij=0;其中i=1…1000;j=1…100;pij表示會員對某種DVD的偏愛程度[3](數字越小，表示偏愛程度越大)。為此建立0-1整數線性規劃模型：

首先利用表格中的數據，然后編寫lingo程序求解模型，為了方便結果解釋，最后將前30位會員(即C0001-C0030)分別獲得哪些DVD輸入到表3。如下所示表格中30行表示的是30位會員所分配到的碟片情況，第一列表示的是30位會員，第二列表示的是選擇情況。

表3 會員所獲得的碟片種類

(三)問題3的模型建立與求解

為了求得DVD的購買量，我們根據題目要求，因為一共有1000名會員，所以至少有950名可以獲得自己滿意的DVD，一次可以獲得三張，又因為每月租賃一次的會員在每月租賃兩次的會員進行第二次租賃時碟片不一定郵寄回來，為了使一個月租賃兩次的會員可以看到網站購買的所有碟片，所以網站一共需要購買S=2850+2850×0.4=3990張碟片，確定了碟片總數，利用11這個數字將滿意度擴大化，接下來需要根據每種碟片的滿意度[4]占總體的比例，來求得每種碟片應該購買的數量。為此建立如下的數學模型：

利用Matlab編程求得每種DVD的購買量，如下圖所示：

圖1 D0001—D0020種碟片的購買量

圖2 D00021—D0040種碟片的購買量

圖3 D00041—D0060種碟片的購買量

(四)問題4的模型建立

假設當月購買第i種DVD的數量為ai,價格為bi,則當月購買DVD所花費的總金額為：

假設會員的數量E與會費c和會員的滿意程度h有關，建立如下關系式：

E=f(c,h);

會員的滿意程度h與可選擇的DVD的數量n和種類d有關：

h=f(d,n);

假設DVD的損壞數量D可表示為：D=λE;

假設損毀DVD的單價y為所有DVD單價的平均價格：

假設每月盈利Q與會員會費，購買DVD的價格和DVD的虧損費用有關。根據以上建立如下單目標規劃模型：

五、模型的進一步討論

對于問題3的第二問，我們在計算時僅僅考慮了一次租賃的情況，沒有按照歷史數據顯示的規律分為兩種情況考慮，為此我們進行了如下的模型改進。

新增符號及說明：yij表示二次租賃時會員i選擇第j種碟片。具體的數學模型如下所示:

表示會員要么進行1次租賃，要么進行2次租賃，且兩次均會獲得三張碟片，如果進行二次租賃的話，所需碟片張數按照會員總數的60%進行計算。

六、模型的優缺點

(一)優點

(1)建立的規劃模型能與實際緊密聯系起來，結合實際情況對問題進行求解，使模型具有很好的通用性和推廣性，比如在一些商品的銷售過程中同樣可以使用該類數學模型。(2)模型的計算采用專業的數學軟件，可信度高，可操作性強。(3)對表格中的數據進行了處理，讓建模和編程的過程變得簡單方便。

(二)缺點

(1)由于是調查問卷所抽取的會員，導致數據有一定的局限性，建立的模型不一定適用于所有會員。(2)數據量太大，表格數據量大，計算容易出錯。(3)計算項目多，聯系性大，容易在分析過程中出現錯誤，導致全局出錯。