追本溯源，穩固根基

曲婷

都說高考題源于課本，因此，數學學習要立足課本而活于課本，那么，怎樣才能做到這一點呢？這里，我們就通過平面向量的學習來感受一下課本這一源頭之水的妙處，

一、追本

1.解法

思路1

線性運算，本題中，第（l）題數量積運算所需條件充足，只需要注意向量夾角的方向；第（2）題，是高考常見題型，需要利用平面向量基本定理，將目標向量轉化為已知夾角、長度的（可以做為基底）的向量.

思路2

坐標運算，本題中的條件有些特殊性，根據3，4，5的長度，我們可以確定這個三角形是一個直角三角形，可以借助這個垂直的有利條件，建立平面直角坐標系.這樣的益處是，所有的點的坐標都是已知的，容易確定各向量的坐標.

2.評析

思路1

線性運算的本質是將未知向量用已知向量線性表示，將未知化為已知，將不熟悉的化為熟悉的向量，這種方法，要求我們對于圖形特點非常熟悉，能夠清楚地弄懂各個向量的位置關系，從而利用加法、減法法則來進行未知向量的轉化.

思路2 坐標運算，圖形的特殊性恰為解題的優越性，這里，因為垂直這個特殊的位置關系，有利于建立直角坐標系，將所有的點的位置唯一確定，這樣一來，只需要點的坐標就可以計算出所需向量的坐標，再根據坐標運算的公式來進行求解.

顯然，對于此題，坐標運算更加簡單，但并不是所有的問題都能輕易用坐標來解決的，比如一些斜三角形，即使建立了直角坐標系，各點坐標也未必能夠簡單地表示出來，那么建立直角坐標系的方法便沒了優勢.因此，我們有必要根據已知條件，合理選擇方法.

二、溯源

通過以上分析，我們不難發現，平面向量問題的處理，最常見的，無外乎兩種方法：一種就是線性運算，常見的就是基底轉換，將目標用已知關系、已知長度的向量，利用三角形法則、平行四邊形法則進行表示，從而達到解題的目的；另一方法就是坐標運算，常見有垂直關系的圖形，也有一些非垂直關系的特殊對稱圖形，通過建立直角坐標系，利用坐標的代數運算快速解題.

其實，無論是線性運算還是坐標運算，其本質都是一種基底轉換的思想，即將未知所求向量向已知向量關系進行轉化.

三、感受高考

思路2

已知等邊三角形，常以一條高所在直線為y軸，但本題已知條件都是以點C為起點，故將點C做為原點比較好.

通過以上課本習題和高考題的聯系與比較，我們不難發現，其實這類問題都是利用平面向量基本定理進行轉化，將不熟悉的、未知的問題轉化為熟悉的、已知的條件進行求解.

思路1就是尋找恰當的一組基底（可能是已知其長度和二者的夾角，或者是已知二者的數量積，或其他相關條件等），其他向量均用它們來表示，然后代人計算；思路2就是選擇恰當的直角坐標系，設適當的點坐標（如注意到中點、三等分點等），將向量用坐標表示，最終將問題歸結為代數運算.

高考題源于課本，因此，我們需要重視課本，踏踏實實地做好課本習題，仔細斟酌其內涵，才能在高考中有的放矢，成功解題.