洛必達(dá)法則教學(xué)的幾點(diǎn)思考

摘 要 兩個(gè)無(wú)窮小（大）之比的極限可能存在，也可能不存在。如果極限存在，其極限值也不盡相同。因此，通常把這種極限叫做未定式。而洛必達(dá)法則，就是以導(dǎo)數(shù)為工具，研究未定式的極限的一種方法。

關(guān)鍵詞 型未定式 洛必達(dá)法則

中圖分類號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在高等數(shù)學(xué)中，極限的計(jì)算是非常重要的，求解方法多樣。其中洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種重要方法。一般未定式基本類型有型。在使用洛必達(dá)法則時(shí)，一定要注意使用的前提條件。本文結(jié)合學(xué)生在使用洛必達(dá)法則時(shí)較多出現(xiàn)的錯(cuò)誤，做出分析，并給出正確的解法。這對(duì)我們學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則是非常有幫助的。

預(yù)備知識(shí)：

定理1.（型洛必達(dá)法則）

設(shè)（1）時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，及都存在且；（3）存在（或?yàn)闊o(wú)窮大）則。

注意：（1）此兩個(gè)定理中將全部換成（或）也成立；

（2）此兩個(gè)定理中將全部換成（或；或）也成立；

（3）型洛必達(dá)法則類似。

在使用洛必達(dá)法則，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

（1）使用洛必達(dá)法則時(shí)必須檢驗(yàn)是否是未定式。若不是未定式，就不能使用洛必達(dá)法則。

（2）當(dāng)不存在（無(wú)窮人除外）時(shí)，不能使用洛必達(dá)法則。

（3）檢查函數(shù)式中是否存在非零極限的乘積因子，如果有先將其分離出來(lái)。

（4）只要符合定理1中的所有條件，洛必達(dá)法則可多次使用。

（5）其它形如型也可通過(guò)代數(shù)運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算把其化成未定式，再用洛必達(dá)法則來(lái)計(jì)算。

下面從4個(gè)例題出發(fā)，先給出學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤解法，并對(duì)其錯(cuò)誤進(jìn)行分析，最后給出了正確的解法。

例1：求極限：

錯(cuò)解：

分析：所求極限屬于型未定式，可以使用洛必達(dá)法則。此題解法中第一個(gè)等號(hào)是錯(cuò)誤的，學(xué)生把洛必達(dá)法則公式與商的求導(dǎo)法則混淆了。，而是。

正解：

例2：求極限：

錯(cuò)解：

分析：所求極限屬于型未定式，但大家注意此題求的是數(shù)列極限，不是函數(shù)極限。對(duì)于數(shù)列極限，不能直接使用洛必達(dá)法則。因?yàn)閚為自然數(shù)，數(shù)列的定義域是離散點(diǎn)集，數(shù)列不存在導(dǎo)數(shù)。因此，此題的解法錯(cuò)誤。我們可以將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，再使用洛必達(dá)法則。我們知道，如果函數(shù)的極限存在，那么數(shù)列的極限也存在且等于函數(shù)的極限。

正解：

例3：求極限：

錯(cuò)解：

分析：所求極限屬于型未定式，可以使用洛必達(dá)法則。但此題解法中第一個(gè)等號(hào)不成立。因?yàn)椴淮嬖冢ǔ裏o(wú)窮大以外），不滿足洛必達(dá)法則的第（3）個(gè)條件，所以不能使用洛必達(dá)法則。此題正確解法是：可利用等價(jià)無(wú)窮小替換，以及無(wú)窮小的性質(zhì)（無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小）來(lái)計(jì)算。

正解：

例4：求極限：

錯(cuò)解： 不存在

分析：所求極限并不是未定式，其中分子極限不存在，分母極限是無(wú)窮大。不是未定式時(shí)，不能使用洛必達(dá)法則。因此此題解法中第一個(gè)等號(hào)不成立。此題正確解法是：可利用無(wú)窮小的性質(zhì)（無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小）來(lái)計(jì)算。

正解：

時(shí)，是無(wú)窮小；而是有界函數(shù)。

利用無(wú)窮小的性質(zhì)，無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小。

通過(guò)以上4個(gè)易錯(cuò)例題的分析，學(xué)生在使用洛必達(dá)法則過(guò)程中需要對(duì)其使用的條件，結(jié)論全面的了解和掌握。通過(guò)多做相關(guān)習(xí)題，進(jìn)一步加深理解。

作者簡(jiǎn)介：高燕，（1973- ）.女，碩士研究生，講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007：132-137.