溫度作用下砂巖損傷劣化本構模型研究

靳寶萍 王孔偉 朱 偉 魏 東

(三峽大學 三峽庫區地質災害教育部重點實驗室， 湖北 宜昌 443002)

巖石的本構關系一直是巖石力學研究的核心問題，近些年來，國內外學者在巖石損傷理論研究方面取得大量成果．砂巖由多種熱膨脹系數不同的礦物成分組成，在對溫度變化的響應及敏感性上，表現出顯著的差異性，溫度作用下砂巖的損傷劣化將對邊坡穩定產生重要影響，故研究巖體在溫度應力作用下的孔隙水壓損傷劣化具有重大意義．

目前研究中，曹文貴[1]根據巖石微元破裂服從正態分布，建立了反映巖石破裂全過程的統計損傷本構模型；鄧華鋒[2]等基于三峽庫區砂巖浸泡-風干循環試驗，建立了水巖作用下砂巖損傷統計本構模型；劉桃根[3]等在Burgers模型基礎上，應用損傷力學原理，研究了砂巖蠕變損傷模型和參數識別；胡昕[4]等運用統計理論和Lemaitre應變等價性假說，推導出了能反應含水率影響的紅砂巖損傷統計模型；王偉[5]等基于室內試驗結果與損傷理論，提出考慮流變全過程的流變損傷本菇模型，進行參數識別．從目前的研究成果可知，現階段考慮溫度作用下的砂巖損傷本構關系研究較少．本文根據室內試驗結果，基于砂巖試樣微元體強度服從兩參數的Weibull分布，選取彈性模量作為損傷變量，闡述砂巖在溫度及水壓作用下的變形破壞及損傷演化過程[6]；推導并驗證考慮溫度效應和水壓作用的損傷演化方程及損傷本構模型．

1 溫度作用下砂巖力學參數劣化規律分析

本文試驗采用TOP INDUSTRIE巖石三軸試驗儀，對飽和砂巖進行不同溫度及不同滲透水壓條件下的常規三軸試驗[7-8]，試樣選自湖北秭歸縣三峽庫區的砂巖．巖樣試驗條件包括：溫度分為5℃、20℃、40℃、60℃ 4個級別，圍壓分為5 MPa、10 MPa、15 MPa、20 MPa 4個級別，滲透水壓分為0 MPa、0.3 MPa、0.6 MPa、0.9 MPa 4個級別．

根據各試樣處理后的應力-應變關系分析，發現在15 MPa圍壓時的曲線最能明顯地反映出砂巖損傷劣化力學特性的變化規律，故以下全文均以圍壓15 MPa時試驗結果為研究對象(見表1)．

表1 部分試驗結果參數表

由表1試驗結果分析可知，砂巖在溫度作用下，峰值應變、彈性模量、抗剪強度(C、φ)等參數均隨溫度的升高而降低，溫度越高降低幅度越大；在某一恒定溫度環境下，峰值應變、彈性模量、抗剪強度(C、φ)等參數均隨水壓的增大而降低，由此可見，溫度與孔隙水壓兩者的聯合作用，會加劇巖石的損傷劣化程度．

在5～60℃溫度及0～0.9 MPa孔隙水壓條件下，砂巖試樣的彈性模量呈現出隨溫度、圍壓、水壓的變化而變化，即可假設彈性模量是溫度、圍壓及水壓的函數，通過函數來擬合彈性模量和溫度之間的關系．砂巖試樣的彈性模量受溫度的影響顯著，故本文選定彈性模量來描述砂巖試樣在損傷狀態時的變量，將熱損傷值定義為：

(1)

式中，ET表示為溫度T作用時室內試驗得出的彈性模量值；E0為初始溫度時巖石的彈性模量．

本文不考慮巖石的初始損傷情況，由于巖石各力學指標在不同溫度作用下呈弱化趨勢，其中5℃時的弱化趨勢最不明顯，故將5℃時的砂巖試樣作為是處于無損傷狀態(D=0)，即用巖石5℃時的彈性模量作為初始彈性模量E0．

2 考慮溫度及孔隙水壓作用的損傷演化方程

本試驗的砂巖試樣均一性較低，其內部分布有大量的初始缺陷(微裂隙、孔洞等)，使得試樣各微觀單元的強度有明顯的差異性和在排列上具有隨機性，存在較強的離散性，故提出以下假設：

1)巖石內微元體的損傷具有各向同性，基體與損傷體是協調變形的且破壞前符合廣義胡克定律；

2)巖石發生彈性變形前的損傷不發展，且其損傷是由溫度與孔隙水壓共同作用的；

3)巖石在試驗之前的初始損傷值為0，隨溫度升高和孔隙水壓增加，損傷值逐漸增加；

4)巖石損傷主軸與應力主軸、應變主軸重合；

5)巖石內各微元體的強度服從Weibull分布及統計規律．

假定砂巖試樣的損傷是由其內部微元體的不均勻破壞引起的，設在某一載荷下已破壞的微元體數目為Nf，將已破壞的微元體數目和總微元體數目N的比值定義為統計損傷變量(D=Nf/N)，即

砂巖內部的微觀單元體使用摩爾庫倫破壞準則來判斷是否發生破壞，通式為f(σ)-Q=0，其中Q=ccosφ，φ為巖石的內摩擦角．當f(σ)-Q≥0時，則巖石已屈服或破壞，屈服條件符合摩爾庫倫準則：

(3)

將式(2)代入式(3)中，可得

(4)

根據假設3)，巖石微元體在破壞前會服從廣義胡克定律，則有

(5)

由于本試驗σ2=σ3，將式(5)、(6)代入式(4)中，可得

(7)

砂巖的損傷受孔隙水壓作用的影響，從該試驗結果中可知孔隙水壓與彈性模量、內摩擦角之間的關系，與姜橋[9]、胡亞運[10]由胡克定律得到砂巖孔隙水壓損傷統計本構方程中的關系式(8)相吻合．

(8)

將其代入式(7)，得到砂巖試樣在考慮孔隙水壓時，其彈性模量的損傷演化方程表達式：

D=1-

其中，E、φ分別指在沒有孔隙水壓(p=0)時試樣的彈性模量、內摩擦角．

砂巖的損傷還受到溫度的較大影響，從三軸壓縮試驗結果中發現，砂巖試樣的均勻性、彈性模量、峰值強度之間在溫度變化下存在有某種相似的變化規律．可將砂巖試樣的均勻性、彈性模量、峰值強度認為都與熱損傷值改變有關．m在Weibull分布中表示形態參數(即不均勻系數)，F在Weibull分布中代表巖石的平均強度特征．即

m(T)=(1-DT)m0，F(T)=(1-DT)F0(10)

式中，m0和F0分別表示在溫度5℃時砂巖試件的Weibull參數．

將式(10)代入式(9)中，得

(11)

將式(1)代入式(11)，整理得到砂巖試樣在考慮溫度效應及孔隙水壓時，其彈性模量的損傷演化方程表達式：

3 溫度作用下砂巖損傷統計本構模型

3.1 砂巖損傷統計本構方程

根據應變等效假設式及連續損傷理論、巖石內部微元體在破壞前服從廣義胡克定律，再結合本三軸試驗的應力條件σ2=σ3進行整理變形得

3.2 砂巖損傷本構方程參數的確定

Weibull分布參數m和F的確定是求解砂巖損傷本構模型的關鍵，一般根據巖石三軸試驗時的應力-應變關系曲線來確定．而在砂巖的應力-應變曲線中，存在有峰值強度點，在此點處的導數為0(即其斜率為0)，故通過式(13)進行對ε1求一次偏導及變形整理可得：

(14)

將砂巖試樣在不同溫度及孔隙水壓作用的試驗中得到的數據，如峰值應力σ1及對應的最大軸向應變ε1，以及由這些數據求得的E、v、φ等值，代入式(9)、(10)中，并通過曲線擬合的方法，依次求解出損傷本構方程中的分布參數m、F(見表2)．

表2 部分砂巖試樣試驗曲線擬合計算結果

3.3 損傷本構模型的驗證

本文選擇15 MPa圍壓條件下，砂巖在不同溫度及孔隙水壓作用下的試驗數據進行損傷本構模型驗證．參照胡亞運[7-8]等對巖石損傷本構模型的驗證發法，對求得的Weibull分布參數m和F，以及試驗數據σ1、σ3、E、p、v、φ、ε1(表2)進行整理，得到σ1-ε1的函數關系，然后分別繪制出在相應試驗條件下理論的應力-應變關系曲線，并與實際的試驗曲線進行對比，部分曲線如圖1～2所示．

圖1 5℃條件下砂巖不同水壓時應力-應變曲線試驗值與模型值對比圖

圖2 60℃條件下砂巖不同水壓時應力-應變曲線試驗值與模型值對比圖

根據圖1～2中理論曲線與試驗曲線的對比可得，由本構模型計算出的理論應力-應變曲線與實際的試驗曲線的吻合效果較好，兩者在不同試驗條件下的發展趨勢大體一致．

Weibull分布參數中m和F分別反映試樣強度和砂巖應力-應變曲線形狀，m、F隨溫度的升高、圍壓的增大而減小；參數m隨水壓的增大而增大，參數F隨水壓的增大而減小．其中，參數F在降低或增大的幅度在降低，表明砂巖試樣的強度在逐漸降低或呈降低趨勢．

4 結 論

1)通過溫度及水壓作用相關的損傷弱化理論，假設砂巖試樣內微元體的強度服從Weibull概率分布，選取相應的損傷變量來建立了考慮溫度效應及孔隙水壓作用的砂巖損傷演化方程．

2)通過Lemaitre提出的應變等效假設，在考慮溫度效應及孔隙水壓作用的砂巖損傷演化方程的基礎上，建立了相應的砂巖損傷本構方程．

3)基于試驗的結果，由建立的本構模型計算出理論砂巖三軸應力-應變關系曲線與實際試驗應力-應變曲線進行對比驗證，結果表明二者在一定溫度下形狀及變化趨勢吻合較好，說明了此本構模型有一定的適用性．