基于損傷理論的混凝土裂縫擴展研究

陳 軍 王向東 韓金啟

(河海大學 力學與材料學院， 南京 211100)

混凝土在澆筑成型過程中不可避免的會有初始損傷，初始損傷在外載的作用下會不斷的演化發展，產生微裂紋區直至形成宏觀裂縫，因此混凝土的破壞過程實質上是損傷產生、發展、形成宏觀裂縫、裂縫擴展、直至結構破壞的過程．損傷力學和斷裂力學都屬于破壞力學范疇，兩者各有不同但又相互關聯，損傷力學主要研究材料內的微缺陷和微裂紋，即在變形過程中損傷產生、演化發展的過程及其對材料力學性能的影響[1]；斷裂力學則研究宏觀裂紋尖端的應力、應變場、應力強度因子、能量釋放率和斷裂能等，從而建立起宏觀裂紋起裂、穩定擴展和失穩擴展的判據[2]，進而進行裂縫穩定性研究．所以要真正了解混凝土材料的裂紋產生、發展的過程，就需把損傷力學和斷裂力學方法結合起來，用損傷與斷裂耦合的分析方法來研究混凝土的破壞，這樣才可以更好的反應出材料破壞的實際過程[2]．

為了研究帶裂縫結構的安全性，經過多年的研究，學者們[3-5]引進了新的斷裂參量，如應力強度因子K和能量釋放率G等，建立了應力強度因子K判據和能量釋放率G判據等，用于分析裂縫的穩定性．而裂縫之所以擴展是縫端損傷積累的結果，為了描述混凝土帶縫結構裂縫開始擴展的原因，本文從損傷力學入手研究縫端的損傷區域及其演化規律．為了描述材料損傷特性，學者們建立了一些損傷模型．經典的損傷模型有Loland模型和Marzars模型，此外還有Krajcinovic損傷模型和徐變損傷模型[6]等．其中，Loland模型最具有代表性，因為其考慮了材料的初始損傷，該模型所計算得出的損傷狀況與試驗數據符合較好[7]．所以，其應用也比較多，故本文在研究混凝裂縫的擴展中采用Loland模型．推導損傷區域的表達式，建立損傷判據和損傷半徑判據，將該研究結果用于分析帶縫結構，如混凝土梁和帶縫混凝土重力壩裂縫發生擴展的原因，以便于混凝土結構的安全性分析．

1 基于Loland損傷模型的雙D判據

材料變形往往與損傷聯系在一起，物體內的損傷是一種連續的場變量，而描述這種材料損傷狀態的場變量就稱為損傷變量D，本文所采用的Loland損傷演化方程為：

(1)

演變方程中，C1、C2和β是材料常數．由于ε=εf時σ=σf，且dσ/dε=0并考慮到ε=εu時D為1，所以可以得到：

D(ε)=

對于Loland損傷模型，考慮到其建立在單軸均勻應力場的條件下，所以圖1中應變εc對應起裂損傷Dini，隨著損傷的累積，當應變達到圖中的失穩應變εun時，損傷失穩發展，對應失穩損傷Dun．

圖1 模型

建立描述裂縫尖端損傷發展的雙D損傷判據：當裂縫尖端的損傷小于起裂損傷Dini時，縫端損傷處于產生階段，微裂紋區形成；當裂縫尖端的損傷介于起裂損傷Dini和失穩損傷Dun之間時，縫端損傷處于穩定積累階段，微裂紋區發展；當裂縫尖端的損傷大于Dun時，縫端損傷處于快速失穩發展階段，微裂紋區發展為宏觀裂縫．所以描述裂縫尖端損傷發展的判據可以表示為：

2 基于Loland損傷模型Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫損傷斷裂區

如圖2所示，混凝土中具有與x軸成夾角α的斜裂紋，并在邊界處受到沿x軸方向的拉應力σ作用，則圖中的裂縫即為Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫，由線彈性斷裂力學原理，Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫縫端應力場可由疊加原理得：

(4)

圖2 中心斜裂紋單向拉伸

由σ主應力和分應力的關系，可以推出主應力滿足：

由于混凝土為脆性材料，抗壓不抗拉所以認為混凝土破壞的主要原因是拉應變導致，損傷主要由拉應變引起．由應力應變關系可以由式(5)推導出最大拉應變為：

(6)

式中，系數

(7)

將式(6)代入式(1)整理得

又有

式中，KⅠ和KⅡ分別為第一應力強度因子和第二應力強度因子，σ為拉應力，α為斜裂紋的傾角．并將式(9)代入式(8)中整理得到：

由式(10)計算出當D=1，角θ=0時，KⅠ和KⅡ的比值不同時的損傷半徑r的數值．見表1．

表1 各組Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫損傷半徑計算表(D=1)

當取角θ=0度時，由損傷半徑的公式(10)可得Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫損傷發展演化的過程如圖3所示．對應于起裂損傷Dini，裂縫尖端對應著一個起裂時的損傷半徑rini，當裂縫尖端的損傷半徑小于起裂損傷rini時，縫端損傷處于產生階段，微裂紋區形成；對應失穩損傷Dun，則裂縫尖端對應著一個失穩時的損傷半徑run，當裂縫尖端的損傷介于起裂損傷半徑rini和失穩損傷run之間時，縫端損傷處于穩定積累階段，微裂紋區發展；當裂縫尖端的損傷大于run時，縫端損傷處于快速失穩發展階段，微裂紋區發展為宏觀裂縫．

圖3 Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫損傷斷裂區域

則對應于雙D損傷發展判據，也可以表述為雙r損傷判據：

3 Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫損傷斷裂區的數值分析

Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫在諸多復合型裂縫中最為常見，也是人們研究最多的一類復合型裂縫問題．通過探索研究發現，Acapinter在1988年根據Losipescu試件改進而成的反對稱加載的單邊裂縫四點剪切樣是較為理想的試件[9]．河海大學斷裂力學課題組進行的系列斷裂試驗[10]中的Ⅰ-Ⅱ復合型也采用單邊裂縫四點剪切式樣進行試驗，如圖4所示．其中b=h=100 mm，S=3S′=180 mm，初始裂縫長度a0=50 mm．f表示裂縫的位置．

圖4 Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫斷裂試驗試件尺寸

根據試驗數據進行了3組拉剪斷裂模型的數據計算，給出其中一組f為10 mm模型的損傷數值計算圖，如圖5～6所示．相應的結果見表2．

圖5 起裂荷載下損傷等值線

圖6 失穩荷載下損傷等值線

組號f/mm起裂荷載/kN失穩荷載/kNKⅠ/KⅡ起裂損傷Dini失穩損傷Dum起裂半徑/mm失穩半徑/mm理論計算失穩半徑/mm140436867203.33410.54500.72886.5105.6545.435220582489601.37450.56820.73465.5844.71794.3743106734103600.64960.66110.76955.1174.3363.861

由數值計算得出的失穩半徑與理論計算得到的的損傷失穩半徑非常相近，并且其變化趨勢一致，由此驗證本文方法的合理性．

4 重力壩模型損傷區計算分析

混凝土壩體的裂縫的出現是由于損傷的不斷演化發展導致的，因此，若能夠在混凝土的裂縫出現以前就能夠確定損傷區的范圍，就可以提前對壩體進行預加固，可以預防裂縫的出現，比裂縫出現再進行加固更安全也更經濟．若已經產生了裂縫，可以將裂縫尖端的損傷區大小計算出，然后對損傷區進行加固處理，就可以防止裂縫的發展．

本文選國外某重力壩為計算對象：壩高103 m、壩頂寬度14.8 m、壩段厚16 m、壩底寬度70 m．重力壩的壩體混凝土材料彈性模量E=31.027 GPa，泊松比v=0.15，密度為ρ=2 463 kg/m3，動態拉伸屈服強度σd=2.9 MPa，抗壓強度σc=24.1 MPa，斷裂能G=250 N/m．重力壩模型如圖7所示．

圖7 重力壩壩段輪廓

由文獻[11]分析結果得知，壩體截面突變處易產生裂縫．故在壩體截面突變處預制一個長度為6 m的裂縫，利用有限元軟件ANSYS先建立平面模型，裂縫尖端離截面突變處距離為6 m，在裂縫尖端處設置奇異性，所以網格劃分不再是規則的，如圖8所示．

圖8 帶裂縫重力壩三維模型 圖9 裂縫尖端最大主應變云圖

取模型中間一壩段分析，用有限元軟件自帶的應力強度因子方法，求得KⅠ=0.320 15 (MN·m-3/2)、KⅡ=0.564 47 ×10-4(MN·m-3/2)，因此可以知道裂縫類型為Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫．當重力壩的背側水位到達壩頂時，計算出此時裂縫尖端的最大主應變云圖如圖9所示．

經過試算，得出當重力壩上游水位為98.2 m的時候，計算得到裂縫尖端的應變為ε=183 με，此時對應的損傷即為起裂損傷如圖10所示，當h≤98.2 m時，此時縫端的損傷0rini；當98.2 m100 m時，此時縫端的損傷D>Dun，損傷半徑r

圖10 起裂荷載下裂縫尖端損傷圖

圖11 失穩荷載下裂縫尖端損傷圖

工程中可以通過在混凝土內部埋設應變傳感器，觀測應變的變化，并根據公式(3)及公式(10)，通過應變可以得知損傷以及損傷區域的大小，并結合雙D損傷判據和雙r損傷判據來判斷結構中裂縫的安全性，在工程應用中具有一定的實際意義．

5 結 論

1)推導了Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫尖端區域的損傷斷裂區域方程，并提出雙D損傷判據和雙r損傷半徑判據．

2)利用有限元軟件建立并模擬該復合型裂縫驗證理論計算結果的準確性．

3)將損傷區理論應用在在工程實例中，計算出帶裂縫重力壩的起裂損傷區以及失穩損傷區，分析了壩體裂縫在相應荷載作用下的安全性．