一個(gè)4-D超混沌系統(tǒng)的特性分析及混沌控制設(shè)計(jì)

梁 媛 王仁明，2 王凌云，2

(1. 三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2. 三峽大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)與智能控制研究所， 湖北 宜昌 443002)

超混沌系統(tǒng)一般可以定義為至少存在兩個(gè)正Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng)[1]，因而超混沌系統(tǒng)有更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為，如多渦卷混沌吸引子、多個(gè)正Lyapunov指數(shù)、截面上的Poincare映射非孤立等，這使得對(duì)超混沌系統(tǒng)的研究成為極具挑戰(zhàn)性的課題．第一個(gè)典型的超混沌系統(tǒng)是Rossler超混沌系統(tǒng)[2]，接著其它一些超混沌系統(tǒng)相繼出現(xiàn)了，如Chen超混沌系統(tǒng)[3-4]、Lu超混沌系統(tǒng)[5]、Nikolov超混沌系統(tǒng)[6]、Lorenz超混沌系統(tǒng)[7-8]等．

由于混沌系統(tǒng)在許多領(lǐng)域有著明顯或潛在的應(yīng)用，如：保密通訊[9-10]，密碼系統(tǒng)[11-12]，加密術(shù)[13-14]，電子電路[15-16]等，在過(guò)去的20年中，對(duì)混沌系統(tǒng)的控制研究受到了極大的關(guān)注，出現(xiàn)了許多控制方法：最優(yōu)控制方法[17-18]，自適應(yīng)控制方法[19]，滑模控制方法[20]，時(shí)滯反饋控制方法[21]等．

基于超混沌系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)特性和實(shí)用性，為了更好地對(duì)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析與控制設(shè)計(jì)．本文討論了一個(gè)新型四維超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性及控制問(wèn)題．首先，分析了系統(tǒng)的一些動(dòng)力學(xué)特征，如耗散性、時(shí)間序列、相軌跡圖、李雅普諾夫指數(shù)譜和龐加萊映射．接下來(lái)，應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定理論分析了超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問(wèn)題，并對(duì)具有完全未知參數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)參數(shù)估計(jì)的自適應(yīng)律．最后，利用Matlab仿真軟件對(duì)所有設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，闡述了分析和設(shè)計(jì)的正確性和有效性．

1 系統(tǒng)描述及混沌特性分析

1.1 系統(tǒng)描述

(1)

故本文考慮如下新型四維超混沌系統(tǒng)：

(2)

其中，x，y，z，w為狀態(tài)變量，a，b，c，d為系統(tǒng)的正常數(shù)參量．

1.2 相軌跡和時(shí)間序列

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)分別為以下數(shù)值時(shí)，該四維系統(tǒng)是超混沌的

a=24，b=125，c=5，d=10 (3)

使用Wolf算法計(jì)算可知，系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)為：L1=2.946，L2=2.083，L3=-2.432，L4=-32.59．由于系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)中有兩個(gè)是正數(shù)，說(shuō)明該新型四維系統(tǒng)是超混沌的．此時(shí)，系統(tǒng)(2)的Kaplan-Yorke維數(shù)為：

可知系統(tǒng)(2)有一個(gè)分?jǐn)?shù)Kaplan-Yorke維數(shù)的奇異吸引子．

若取系統(tǒng)(2)的初始狀態(tài)為：

x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=0.2 (4)

則系統(tǒng)的相圖、時(shí)間序列圖及Lyapunov指數(shù)譜分別顯示在圖1、圖2和圖3中．

圖1 四維超混沌系統(tǒng)的相圖

圖2 四維超混沌系統(tǒng)的時(shí)間序列圖

圖3 四維超混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

1.3 耗散性

超混沌系統(tǒng)(2)可以用向量表示為：

(5)

其中，

(6)

通過(guò)Liouville定理，可知

其中向量Ω(t)=Φt(Ω)，Φt是f的通量，V(t)為Ω(t)的體積．

系統(tǒng)(2)的散度為：

(8)

其中μ=a+1+c．

根據(jù)式(3)中選擇的參數(shù)值，知μ=30>0，將式(8)里·f的值代入到式(7)中，可得

(9)

即

V(t)=exp(-μt)V(0) (10)

由于μ>0，從式(10)可知，當(dāng)t→∞時(shí)，V(t)以指數(shù)方式趨于0．這顯示系統(tǒng)(2)是耗散的．因此，其軌線最終被限定于一個(gè)零體積的子集內(nèi)，并且其漸近運(yùn)動(dòng)將止于一個(gè)奇異吸引子上．

1.4 平衡點(diǎn)

當(dāng)系統(tǒng)(2)的參數(shù)值如(3)中所示時(shí)，平衡點(diǎn)可由解下列等式獲得：

(11)

即

系統(tǒng)(2)在F∈R4的任一點(diǎn)的雅可比矩陣為：

在平衡點(diǎn)E0的雅可比矩陣為：

(14)

雅可比矩陣J0的特征值數(shù)值為：

λ1=-5，λ2=-68.629 0，λ3=0.421 5，λ4=43.207 4 (15)

因此，平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)．

在平衡點(diǎn)E1的雅可比矩陣為：

(16)

雅可比矩陣J1的特征值數(shù)值為：

λ1=-0.362 4，λ2=-23.429 4，

λ3，4=-3.466 5±26.906 7i(17)

因此，平衡點(diǎn)E1也是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)．

1.5 龐加萊映射

龐加萊映射是一種有助于形象化混沌折疊特性的分析技術(shù)．當(dāng)參數(shù)a=24，b=125，c=5，d=10時(shí)，在不同的交叉平面，如x=0，z=32，在圖4中顯示了x-y、y-z和y-w平面對(duì)應(yīng)的龐加萊映射圖．

圖4 四維超混沌系統(tǒng)的龐加萊映射圖

2 4-D超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制

目標(biāo)是尋找四維超混沌系統(tǒng)(2)的一種具有參數(shù)估計(jì)值更新規(guī)律的自適應(yīng)控制，使得當(dāng)t→∞時(shí)，所有狀態(tài)變量x、y、z、w都收斂于系統(tǒng)的平衡點(diǎn)．

假設(shè)受控的系統(tǒng)為：

(27)

其中，x，y，z，w為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，且a，b，c，d為未知的參量．V1、V2、V3、V4為待設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器．

若系統(tǒng)(2)的參數(shù)是未知的，設(shè)計(jì)其自適應(yīng)控制律為：

(28)

參數(shù)估計(jì)值更新律為：

(29)

這里，a1、b1、c1、d1為不確定參數(shù)a、b、c、d的估計(jì)值．li(i=1，2，3，…，8)為正常數(shù)．則在任意初始狀態(tài)(x(0)，y(0)，z(0)，w(0))∈R4下，具有未知參數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的．

證明：將式(28)代入到式(27)中，可得到如下閉環(huán)系統(tǒng)模型：

(30)

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

將式(29)、式(30)代入(32)中可得：

l7(c-c1)2-l8(d-d1)2

(33)

x(0)=2，y(0)=2，z(0)=2，w(0)=2，

a=24，b=125，c=5，d=10 (34)

取li=0(i=1，2，3，…，8)，并設(shè)參數(shù)的初值為0．狀態(tài)變量和參數(shù)估計(jì)值的運(yùn)行軌跡仿真結(jié)果顯示在圖5和圖6中．

圖5 自適應(yīng)控制狀態(tài)變量圖

圖6 參數(shù)估計(jì)值更新圖

由圖5和圖6可看出，在自適應(yīng)控制器的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)變量迅速趨于平衡點(diǎn)E0(0，0，0，0)，且系統(tǒng)未知參數(shù)的估計(jì)值收斂于被給的參數(shù)值．說(shuō)明該控制方法對(duì)多未知數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)可以達(dá)到期望的控制效果．

3 結(jié) 論

本文討論了一個(gè)新型的四維超混沌系統(tǒng)的混沌特性，如耗散性、時(shí)間序列、奇異吸引子、李亞普諾夫指數(shù)譜、龐加萊映射等．同時(shí)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制律來(lái)穩(wěn)定具有未知參數(shù)的新型四維超混沌系統(tǒng)．其設(shè)計(jì)的有效性和正確性由數(shù)值仿真得到了驗(yàn)證．