讓數(shù)學(xué)建模更接地氣

張衛(wèi)星

數(shù)學(xué)模型是對(duì)某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系概括或近似表述的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，是相應(yīng)系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)中的各種概念、公式和理論是由現(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，實(shí)質(zhì)上都是數(shù)學(xué)模型。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師適時(shí)創(chuàng)設(shè)建模機(jī)會(huì)，讓學(xué)生參與建模的全過(guò)程，可以讓學(xué)生的思維更凝練，方法更精準(zhǔn)，從而達(dá)到“一例帶一串”的教學(xué)目的，為大面積提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。但兒童畢竟是兒童，如果數(shù)學(xué)模型太復(fù)雜或者建構(gòu)過(guò)程太抽象，那么，學(xué)生就很難理解模型的來(lái)龍去脈。因此，作為數(shù)學(xué)教師一定要靜下心來(lái)精心設(shè)計(jì)建模過(guò)程，力求讓建模適合學(xué)生的認(rèn)知水平，讓數(shù)學(xué)模型能被大多數(shù)學(xué)生理解。唯有這樣，數(shù)學(xué)建模才接地氣。

【案例呈現(xiàn)】

在學(xué)生探索出三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和之后，筆者順勢(shì)把板書(shū)補(bǔ)充完整（如表1）。在此基礎(chǔ)上，筆者及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思，和他們一起經(jīng)歷如下的教學(xué)片斷：

師：看了這個(gè)板書(shū)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：圖形每增加一條邊，圖形內(nèi)角和就增加180°。

生2：圖形每增加一條邊，包含的三角形個(gè)數(shù)就增加1個(gè)。

生3：圖形每增加一條邊，包含的三角形個(gè)數(shù)就增加1個(gè)，內(nèi)角和就增加180°。

師：嗯！你們的眼睛真亮！按照你們剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，如果是七邊形，那么，包含的三角形個(gè)數(shù)及內(nèi)角和又是多少呢？

生：如果是七邊形，應(yīng)該包含5個(gè)△，內(nèi)角和是900°。（先課件驗(yàn)證，然后在板書(shū)下面添加）

師：如果是八邊形呢？

生：如果是八邊形，應(yīng)該包含6個(gè)△，內(nèi)角和是1080°。（師繼續(xù)添加板書(shū)）

師：如果是九邊形呢？

生：如果是九邊形，應(yīng)該包含7個(gè)△，內(nèi)角和是1260°。（師繼續(xù)添加板書(shū)）

師：如果是十二邊形呢？

生：如果是十二邊形，應(yīng)該包含10個(gè)△，內(nèi)角和是1800°。（師繼續(xù)添加板書(shū)）

師：如果是二十二邊形呢？

生：如果是二十二邊形，應(yīng)該包含20個(gè)△，內(nèi)角和是3600°。（師繼續(xù)添加板書(shū)）

師：你們真聰明！再看看圖形的邊數(shù)和包含的三角形個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？

生1：我發(fā)現(xiàn)包含的三角形個(gè)數(shù)都比圖形的邊數(shù)少2。

生2：我發(fā)現(xiàn)圖形的邊數(shù)都比包含的三角形個(gè)數(shù)多2。

生3：我發(fā)現(xiàn)“圖形的邊數(shù)-包含的三角形個(gè)數(shù)=2”。

師：圖形的邊數(shù)-包含的三角形個(gè)數(shù)=2，是真的嗎？請(qǐng)大家根據(jù)板書(shū)驗(yàn)證一下。

（不一會(huì)兒，學(xué)生紛紛表示同意）

師：剛才的結(jié)論經(jīng)過(guò)驗(yàn)證果然是正確的！請(qǐng)大家再看一下，包含的三角形個(gè)數(shù)和內(nèi)角和之間又有什么關(guān)系？

生：三角形的個(gè)數(shù)×180°=內(nèi)角和。

師：真的嗎？再驗(yàn)證一下！（學(xué)生一驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)結(jié)論是成立的）

師：那現(xiàn)在我要考考大家了，看看誰(shuí)算得又對(duì)又快？請(qǐng)大家準(zhǔn)備好筆和紙。

師：如果是三十邊形，有幾個(gè)三角形？?jī)?nèi)角和是多少？（不一會(huì)兒，有學(xué)生舉手發(fā)言）

生：30-2=28（個(gè)），28×180°=5040°。（添加板書(shū)）

師：嗯！速度真快！如果是一百零二邊形呢？（同樣，不一會(huì)兒，大家紛紛舉手）

生：102-2=100（個(gè)），100×180°=18000°。（添加板書(shū)）

師：真厲害！如果是N邊形呢？（一個(gè)男生把小手舉得高高的）

生：應(yīng)該是（N-2）個(gè)，內(nèi)角和是（N-2）×180°。（其他同學(xué)先是一愣，馬上回過(guò)神來(lái)，并報(bào)以熱烈的掌聲，筆者趁勢(shì)添加板書(shū)，完整板書(shū)，如表2）

師：四（2）班的同學(xué)真棒！現(xiàn)在請(qǐng)你們大聲地說(shuō)出如何求N邊形的內(nèi)角和？

生：N邊形的內(nèi)角和=（N-2）×180°。

【教后反思】

“多邊形內(nèi)角和”是人教版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)的內(nèi)容，其字母公式是學(xué)生求多邊形內(nèi)角和的最好依據(jù)，在實(shí)際教學(xué)中，教師理應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生參與這一模型的建立。如果學(xué)生參與這一模型的建立，那么后續(xù)教學(xué)就會(huì)變得更容易。那么，如何讓這一模型建立接近學(xué)生實(shí)際，如何讓模型建立更接地氣呢？結(jié)合上述案例，筆者認(rèn)為應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

1.建模要果斷

教材在新課編排中沒(méi)有涉及“多邊形內(nèi)角和”字母公式的建立，但在接下來(lái)的“練習(xí)十六”中卻有意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并建立這一模型。筆者認(rèn)為，新課教學(xué)中的“做一做”已經(jīng)觸及到六邊形的內(nèi)角和，再稍微拓展一下就能較好地建立這一模型。事實(shí)表明，在新課教學(xué)中，應(yīng)果斷引導(dǎo)學(xué)生建立這一模型，大部分學(xué)生能夠理解，實(shí)際效果比預(yù)想的還要好。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)模型的建立時(shí)機(jī)要根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇，該果斷的時(shí)候就要果斷。唯有果斷，才能事半功倍。

2.建模要充實(shí)

數(shù)學(xué)建模的實(shí)質(zhì)是歸納與提煉的過(guò)程，而歸納與提煉需要足夠的例子來(lái)支撐。因此，教師在實(shí)際建模教學(xué)中要為學(xué)生提供一定量的例子。只有例子達(dá)到一定的量，學(xué)生才有充分感悟的時(shí)間和空間，從而使大部分的學(xué)生都能自己感悟數(shù)學(xué)模型的由來(lái)。為此，在上述“多邊形內(nèi)角和”最終模型得出之前，筆者和學(xué)生一起經(jīng)歷了11個(gè)多邊形內(nèi)角和的求解過(guò)程，同時(shí)將這些結(jié)論都在黑板上板書(shū)出來(lái)（如表2），從而有利于學(xué)生的歸納與提煉。如果再仔細(xì)分析，我們又會(huì)發(fā)現(xiàn)這11個(gè)多邊形內(nèi)角和的求解過(guò)程實(shí)際上分成三個(gè)層次。第一層次，即三角形到六邊形的內(nèi)角和是認(rèn)真探究的過(guò)程，是新課的主體，也是教學(xué)的重點(diǎn)；第二層次，即七邊形到二十二邊形，這個(gè)過(guò)程是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)第一層次的經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)拓展、提煉模型的過(guò)程，經(jīng)過(guò)這個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生感受到圖形邊數(shù)與包含的三角形個(gè)數(shù)及內(nèi)角和之間的初步關(guān)系；第三層次，即三十邊形和一百零二邊形，這個(gè)過(guò)程是對(duì)“多邊形內(nèi)角和”初步模型的驗(yàn)證及使用。通過(guò)這三個(gè)層次的探究，學(xué)生感受豐富，所以最終數(shù)學(xué)模型——N邊形的內(nèi)角和公式也就水到渠成了。

3.建模要貼近

數(shù)學(xué)建模一定要貼近學(xué)生的認(rèn)知水平。只有貼近學(xué)生的實(shí)際，數(shù)學(xué)建模才有實(shí)效。筆者認(rèn)為要達(dá)到這個(gè)目的，首先，要做到語(yǔ)言兒童化。只有這樣才能吸引學(xué)生主動(dòng)參與建模過(guò)程。如在上述“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)中，筆者努力讓問(wèn)題兒童化，如“看了這個(gè)板書(shū)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？”“嗯！你們的眼睛真亮！按照你們剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，如果是七邊形，那么，包含的三角形個(gè)數(shù)及內(nèi)角和又是多少呢？”“圖形的邊數(shù)-包含的三角形個(gè)數(shù)=2，是真的嗎？請(qǐng)大家根據(jù)板書(shū)驗(yàn)證一下。”這些問(wèn)題能引起學(xué)生的共鳴，能引起學(xué)生的響應(yīng)，從而數(shù)學(xué)建模走向深入。其次，問(wèn)題要精準(zhǔn)。學(xué)生建模的過(guò)程就是學(xué)生探究的過(guò)程，而學(xué)生的探究需要精準(zhǔn)的指向。因此，在引導(dǎo)學(xué)生建模的過(guò)程中，問(wèn)題的指向性就顯得尤為重要。“多邊形的內(nèi)角和”的模型建構(gòu)既需要發(fā)散性的問(wèn)題，但也需要指向精準(zhǔn)的問(wèn)題。筆者在發(fā)散性提問(wèn)后，下述幾個(gè)問(wèn)題的指向就非常精準(zhǔn)——“你們真聰明！再看看圖形的邊數(shù)和包含的三角形個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？”“請(qǐng)大家再看一下，包含的三角形個(gè)數(shù)和內(nèi)角和之間又有什么關(guān)系？”“如果是三十邊形，有幾個(gè)三角形？?jī)?nèi)角和是多少？”當(dāng)問(wèn)題精準(zhǔn)了，學(xué)生的思維指向就更精準(zhǔn)，效率就更高了。

可見(jiàn)，建模要貼近學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平是數(shù)學(xué)教學(xué)的必然要求。

4.建模要精煉

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)歸納與提煉的結(jié)果，這個(gè)結(jié)果既應(yīng)該是相應(yīng)年級(jí)的學(xué)生能夠理解的，又應(yīng)該是比較精煉的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)模型精煉不精煉體現(xiàn)了教師鉆研教材的力度和深度，當(dāng)教師研讀教材準(zhǔn)確了，其預(yù)設(shè)的數(shù)學(xué)模型肯定是簡(jiǎn)潔易懂的，如上述“多邊形內(nèi)角和”的模型。如果教師研讀教材不到位，其數(shù)學(xué)模型就可能比較煩瑣或模棱兩可，弄不好還會(huì)把學(xué)生搞糊涂。因此，筆者認(rèn)為，一線教師要靜下心來(lái)仔細(xì)揣摩教材，認(rèn)真梳理原有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，虛心向有經(jīng)驗(yàn)的教師請(qǐng)教，力求引導(dǎo)學(xué)生建立一個(gè)簡(jiǎn)潔、精煉、易懂的數(shù)學(xué)模型。唯有這樣，才能便于學(xué)生理解，便于學(xué)生識(shí)記。