電傳飛機飛行品質低階等效系統算法研究

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(中國飛行試驗研究院 飛機所，西安 710089)

0 引言

電傳操縱系統現在已廣泛應用于新型軍民用飛機,極大地改變了飛機動力學系統的特性。電傳飛機飛行品質的評價和驗證面臨著新的技術挑戰。

飛行品質規范[1]普遍建議使用低階等效系統的方法評定電傳飛機的飛行品質。用具有固定形式的低階等效系統代替高階系統，使用優化方法給出低階等效系統的參數，計算飛行品質指標，評定飛行品質等級。[2-3]采用低階等效系統的方法評定電傳飛機飛行品質必須確定電傳飛機的低階等效系統模型，然后尋找合理的尋優算法，保證低階等效系統能夠合理有效地反應電傳飛機動力學系統的特性。

對于早期沒有電傳操縱系統的飛機，由于飛機動力學系統的輸入即為飛行員的操縱，飛機舵面與飛行員操縱基本呈線性關系，從飛行動力學方程簡化得到的小擾動方程即可反應飛機動力學系統的模型。小擾動方程為典型的線性系統，模型結構簡單，沒有時間延遲，辨識方法較為成熟，國內已經傳統機械操縱飛機的飛行品質評定中總結出了有效的辨識算法。但是，電傳操縱系統的使用使得飛行員的操縱輸入與飛機舵面不再是簡單的線性關系。電傳操縱系統的引入使得飛機動力學系統不再是簡單的線性系統，反饋控制、濾波器等控制環節的引入極大地增加了飛機動力學系統的階次，時間延遲的引入也增加了系統的非線性。傳統的辨識算法已不能夠滿足電傳飛機飛行品質評定的需求，存在時間延遲干擾大、參數初值敏感性高、辨識結果可靠性低等問題。

本文在飛機小擾動方程線性系統模型的基礎上，添加時間延遲項，建立以氣動導數和時間常數為待辨識參數的飛機動力學系統傳遞函數模型，以某型電傳飛機飛行試驗數據為模型輸入和輸出，對高階系統進行頻域分析，綜合運用方程誤差法、輸出誤差法和單純形法等多種頻域尋優算法，辨識飛機的低階等效系統模型參數，計算電傳飛機飛行品質指標，評定飛行品質等級，為飛行品質評定提供技術支持。

1 低階等效系統模型

電傳飛機縱向動態特性包括長周期和短周期模態，橫航向動態特性包括荷蘭滾、滾轉和螺旋3種模態。其中縱向長周期模態和橫航向螺旋模態均為弱模態，本文主要研究縱向短周期和橫航向荷蘭滾、滾轉等復雜模態。

根據小擾動理論，飛機的縱向短周期模態可以用式(1)表示[6][12],其中，ɑ為迎角，q為俯仰角速率，Nz為法向過載，δe為飛機的縱向桿位移。由于迎角的測量誤差較大，在飛機的縱向短周期模型中，將迎角作為系統的狀態量，將俯仰角速率和法向過載作為系統的輸出量，縱向桿位移為系統的輸入量。將式(1)所示的狀態空間模型進行拉普拉斯變換，可以獲得飛機縱向短周期模態的傳遞函數模型，以[a0，a1，b0，b1，c0，c1]代替復雜的拉普拉斯變量系數，增加時間延遲項，可以得到如式(2)所示的縱向短周期模態傳遞函數模型。

(1)

(2)

同理，飛機的橫航向小擾動方程可以用式(3)表示[2-3]，其中β為側滑角，p為滾轉角速率，r為偏航角速率，Ny為側向過載，δa和δr分別為橫向桿位移和腳蹬位移。對式(3)進行相似的處理，以滾轉角速率和偏航角速率為系統輸出，可以得到如式(4)和(5)的荷蘭滾、滾轉模態的傳遞函數模型。

(3)

(4)

(5)

基于以上傳遞函數模型計算其特征根，從而得到飛機的縱向短周期無阻尼自然頻率、阻尼比，荷蘭滾無阻尼自然頻率、阻尼比，滾轉模態時間常數等飛行品質指標。用特征根計算飛行品質指標的計算方法詳見參考文獻6，本文不再贅述。

2 頻域相干性分析

頻域參數辨識方法需要對系統的輸入輸出進行頻譜分析，而相關函數則是一種重要的檢查輸入輸出因果關系的方法。相干性分析可以為頻域參數辨識方法確定辨識的頻率范圍。對于已知的系統輸入和系統輸出，根據快速傅立葉變換(FFT)方法，可以得到輸入輸出的頻譜[4]：

X(f)=FFT(x),Y(f)=FFT(y)

(6)

自相關函數定義如下：

(7)

其中：T表示記錄的時間段長度，互相關函數定義如下：

(8)

根據以上公式，可以得到各個頻率點的相干系數定義如下：

(9)

相干系數分析可以確定辨識的頻譜信息范圍，以下列輸入輸出信息為例，如圖1～2所示。

圖1 輸入輸出時間歷程

圖2 相關系數

根據圖1和圖2所示，在2～15 rad/s的頻率范圍內，輸入輸出的相關度較高，而飛行品質關心的頻率范圍為0.1～10 rad/s，因此確定頻域參數辨識的頻率范圍為2～10 rad/s。

3 高精度有限傅立葉變換

高精度有限傅立葉變換[5]可以對有限長度的時域信號在指定的頻率范圍內進行分解[2]。結合本文第二節的相關性分析結果，可以得到指定頻率范圍內的精確的頻譜信息。

假設所選擇的頻率范圍為f∈[f0,f1)，并且取定M個離散頻率點

fk=f0+kΔf,k=0,1,2,…,M-1

(10)

其中：f=(f1-f0)/M。因此離散傅立葉變換可以寫為如下形式：

k=0,1,2,…,M-1

(11)

定義

Φ0=2πf0Δt,ΔΦ=2πΔfΔt

A=ejΦ0,Z=ejΔΦ

代入上式可以得到：

(12)

隨著k的增加，AZk表示在Z平面上單位矢量畫出的輪廓線。Ф0表示單位矢量的初始位置的角度和位置，和初始頻率f0有關；△ Ф表示沿著單位圓隨著頻率的增加而導致的角度和位置增量，和△f與k有關。對以上形式使用參考文獻[2]中的修正方法，即可得到準確的高精度有限傅立葉變換。

4 參數辨識算法

本文使用頻域方法計算低階等效系統的參數值。根據試驗數據的高精度有限傅立葉變換得到的頻譜信息，利用頻域方程誤差法和單純形法可以得到合理的待辨識參數的近似值，進一步使用輸出誤差法進行迭代，可以得到最終的參數值。

根據時域極大似然法原理[6]，對于飛行器動力學系統而言，極大似然函數形式：

(13)

其中:R為加權矩陣，無特殊要求時，無差別的定義R為單位陣。根據傅立葉變換的帕斯瓦爾定理，以縱向短周期模型為例，可以定義頻域極大似然函數如下：

(14)

其中:w為加權系數，用以平衡似然函數中俯仰角速率與法向過載之間的權重。一般情況下，我們定義加權系數如式(14)所示。加權系數可以根據擬配計算的實際情況進行調整以獲取更好的擬配效果。

(15)

4.1 方程誤差法

頻域方程誤差法計算方法簡單，可以為輸出誤差法提供迭代待初始值。以縱向單擬配為例，將式(2)縱向短周期傳遞函數模型中的拉普拉斯變量s替換為jω，改寫為：

(16)

(17)

(18)

代價函數為:

(19)

?θ=(XXT)-1XTY

(20)

方程誤差法需要給出時間延遲的初始值。實際計算中，可以取輸入數據和輸出數據第一個峰值之間的時間差作為時間延遲的初值。方程誤差法可以通過簡單的一步迭代獲取待辨識參數的初步估計值，提高后續迭代計算的效率。

4.2 單純形法

單純形法在多參數優化函數最值問題中有廣泛的應用。單純形法的計算原理在參考文獻[4]中有非常詳細的介紹。單純形法的優點是對于初值的選取不敏感，且迭代收斂特性好；缺點是迭代收斂速度比較慢，計算量大，對于未知參數較多的情況，單純形法往往不能得到合理的解。綜合使用單純形法和方程誤差法，可以為輸出誤差法提供非常接近最優解的初值，為保證輸出誤差法的迭代收斂提供很好的前提。

4.3 輸出誤差法

頻域輸出誤差法是利用牛頓-拉夫遜法[7]對極大似然函數優化的算法。極大似然函數一般是待辨識參數的函數，假設其形式為J(θ)，對J(θ)進行泰勒展開如下：

(21)

θk+1=θk+Δθ

(22)

(23)

(24)

其中:θ為待辨識模型參數向量，k表示當前的迭代步數，M和N分別是在θk的基礎上計算得到的系數矩陣。式(24)即為牛頓-拉夫遜法給出的待辨識參數迭代算法。其中M矩陣為極大似然函數J(θ)對待辨識參數向量的二階導數矩陣，其形式復雜，數值計算耗時，不適用于數值迭代。比較實用的迭代算法是一種改進的算法，這種算法將M矩陣做了近似處理，以縱向短周期模型為例，其最大似然函數為：

(25)

(26)

(27)

(28)

這種方法稱為改進的牛頓-拉夫遜方法。在數值迭代過程中，需要不斷的對M矩陣求逆，盡管M為對稱矩陣，但是由于數值誤差的累積作用，迭代過程中，會出現M矩陣的各個特征根量級差別較大，產生由于數值誤差而引起的奇異現象，導致迭代發散。因此在程序中還應當采取迭代控制來保證M矩陣求逆順利進行。采用Levenberg-Marquardt方法可以解決這種數值發散問題。該方法通過增大M矩陣的主對角元素值的大小來改善矩陣的奇異性，使矩陣求逆更加容易。具體方法是：

M-1=(M0+kA)-1

(28)

其中:M0為原信息矩陣，k為非負標量，A為一個正定矩陣，通常取為單位矩陣。k的取法有很多種。在A取為單位矩陣的情況下，建議取為M0矩陣所有元素的平均值的絕對值，即：

(29)

采用這種方法改進后，輸出誤差法在保證迭代效率的前提下，解決了迭代過程容易發散的問題，取得了較好的效果。

5 算法應用

頻域輸出誤差法具有良好的迭代性能，但對初值的敏感性較高，使用方程誤差法和單純形法得到的初值進行迭代，輸出誤差法可計算得到精確的最優參數解。計算流程如圖3所示。

圖3 計算流程圖

以某型電傳飛機氣壓高度11 km 、馬赫數0.9的試飛數據為例進行辨識。該型飛機的典型試飛數據時間歷程如圖4所示。按式(2)的縱向短周期模型，使用方程誤差法、單純形法和輸出誤差法進行參數辨識計算，獲取[a0，a1，b0，b1，c0，c1，τ1，τ2]等參數值，再進一步求取式(2)中傳遞函數的特征根，即可獲得該型飛機在氣壓高度11 km、馬赫數0.9的縱向短周期無阻尼自頻率ωsp、阻尼比ζsp和時間延遲τe。擬配得到的結果如圖5所示，飛機的縱向短周期響應和低階等效系統的響應重合度較高。飛行品質指標計算結果如表1所示，飛行品質指標與設計值相符，辨識結果合理有效。

以某型電傳飛機氣壓高度5 km 、馬赫數0.80的飛行狀態下的試飛數據為例，進行橫航向低階等效系統參數辨識計算，辨識結果如圖7所示。飛機的橫航向響應和低階等效系統的響應重合度較高。根據辨識結果計算飛機的橫航向荷蘭滾模態無阻尼自然頻率ωdr、阻尼比ζdr、滾轉模態時間常數τR等，計算結果如表2所示，飛行品質指標與設計值相符，辨識結果合理有效。

圖4 某型飛機縱向短周期模態時間歷程

圖5 某型飛機縱向短周期模態擬合結果

圖6 某型飛機橫航向時間歷程

圖7 某型飛機橫航向辨識結果

飛行品質指標設計值參數辨識值ωsp(rad/s)2.0～3.02.75ζsp0.75～0.850.80τe(ms)100～150118

表2 橫航向飛行品質辨識結果

6 結論

本文提出了實用的低階等效系統模型，采用頻域相關性分析方法確定辨識頻率范圍，采用高精度有限傅立葉變換方法對試驗數據進行頻譜分析，綜合運用頻域方程誤差法、輸出誤差法和單純形法，對某型電傳飛機的低階等效系統模型進行參數辨識，準確地計算了該型飛機的飛行品質指標。本文采用的方法為電傳飛機飛行品質的評定提供了有效的技術支持[8-11]。