分清橢圓離心角與旋轉角

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學 730900)

應用橢圓的參數方程解題時, 許多學生由于未能深入理解參數的幾何意義, 沒有準確把握橢圓參數方程中離心角與旋轉角的區別與聯系, 產生了誤解，從而導致錯誤.

例已知P、Q是橢圓3x2+5y2=1上滿足∠POQ=90°的兩個動點，則OP2+OQ2=( ).

圖1

錯解分析回顧橢圓參數方程的推導過程，如圖1，以原點為圓心,分別以a，b(a>b>0)為半徑作兩個圓,點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作AN⊥Ox,垂足為N, 過點B作BM⊥AN,垂足為M, 求當半徑OA繞點O旋轉時點M的軌跡的參數方程.

橢圓參數方程中的θ為離心角，∠AOx=θ，而旋轉角∠MOx≠θ, 將旋轉角∠MOx增加90°，離心角θ不一定增加90°， 那么離心角與旋轉角有什么關系呢？

圖2

通過幾何畫板動態顯示，如圖2，當拖動主動點A繞著點O轉動時，離心角∠AOx和旋轉角∠MOx的大小都在發生變化，可以觀察出，在第一象限時，∠AOx>∠MOx；在第二象限時，∠AOx<∠MOx；在第三象限時，∠AOx>∠MOx；在第四象限時，∠AOx<∠MOx；當拖到坐標軸上時∠AOx=∠MOx，一共有四次相等的機會.

解法分析1.應用橢圓參數方程

顯然與夾角α的值有關，故選D．

2.應用橢圓與直線位置

3.應用橢圓的極坐標方程

顯然與極角θ值有關，故選D．

4.應用直線的參數方程

顯然與傾斜角θ值有關，故選D．

分析解法同例題中各種方法，選一種比較簡單的極坐標法．

圖3