高一解析幾何初步教學的“適度”解讀

汪清珠

解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，在建立的坐標系中，平面上的點能夠與有序實數對之間建立起對應關系，從而使平面上某些曲線與某些方程之間建立對應關系;使平面圖形的某些性質（形狀、位置、大?。┛梢杂孟鄳臄?、式表示出來;使平面上某些幾何問題可以轉化為相應的代數問題來研究.學習解析幾何，要特別重視以下兩方面的問題：（1）熟練掌握圖形、圖形性質與方程、數、式的相互轉化和利用;（2）與代數、三角、平面幾何密切聯系和靈活應用.

高一必修二的解析幾何包括兩個章節的內容：直線與方程、圓與方程，這一部分內容的教學奠定了高中解析幾何教學的基礎，應該引起高一數學教師重視，這部分的教學不單單是知識本身，還有相關的思想方法，處理問題的辦法等等，在以往的教學過程中，筆者發現有的學生甚至有的教師會覺得只要能解決問題就可以了，忽略了其他一些方法的教與學，這樣處理高一解析幾何初步的教與學是非常危險的，這對于學生今后的學習發展其實是相當不利的，以下筆者從兩個方面來解讀高一解析幾何部分教學的適度問題：

1直線與方程部分

兩條直線的平行和垂直的判定以及根據兩條直線的平行或垂直求參數的問題是回避不了的問題，由于在教學的時候會先涉及到直線的斜截式，因此學生最先接觸到的必然是如何利用直線的斜率和截距去判斷兩條直線的位置關系，兩條直線的平行和垂直的等價條件.這一方法在教材里也有明確的例題闡述說明，分類討論的思想在這里也得到了落實.

對于高一的學生而言，上述要求是比較高的，但也是必須掌握的.

由于在學完直線的一般式方程后，教材沒有再補充如何應用直線的一般式方程判斷兩條直線的位置關系，兩條直線的平行和垂直的等價條件在這種形式下又是什么，沒有再進行明確的闡述，僅在課后習題中設置一道證明兩條直線垂直的問題，有的教師甚至提出對于兩直線平行或者垂直在直線方程一般式下的等價條件不予教學，全部要求學生分類討論，考慮直線斜率存在與否，直線斜率存在問題轉化為斜截式進行判斷求解，筆者覺得這種教學方式非常的片面，是不可取的，直線方程的一般式作為適用范圍最廣的形式，在題目設計中是最為常見的，而且作為直線一般式方程更一般的結論，是應該讓學生知道并掌握，因此，在教學過程中有必要給出直線方程一般式的相關結論及相應證明，相關結論如下：

已知直線l1：A1x+ B1y+C1=O（A1，B1不同時為0），l2：A2X+ B2y+C2=0（A2，B2不同時為0），

（1）l1//l2 A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0，或A1C2 - A2Cl≠0;

（2）l1⊥l2 A1A2+B1B2 =0.

以下通過一道例題來比較兩種不同解法，孰優孰劣可一目了然.

2圓與方程部分

圓與方程的部分一定會涉及到直線和圓的位置關系、涉及到直線和圓相交相切等相關問題的求解.

眾所周知，圓是非常簡潔完美的幾何圖形，因此在解答有關圓的問題時我們不僅有代數法，還有基于圓的幾何性質的幾何法，這兩種方法在教材里都有詳細的闡述，對于這兩種方法，教材都是明確要求掌握的，但是在實際教學討論及教學實施過程中，有的教師會有這樣的想法，認為代數法較為繁瑣，因此不予講授，要求學生要用幾何法來解答問題，以避免發生計算量大，計算錯誤的情況，筆者認為這樣的教學也是非常片面的.

比如以下例題：

同樣的問題在求兩圓的公共弦時也會出現，如果像某些教師那樣認為交點法和利用弦長公式這兩種代數方法較為繁瑣，不予講解，那么學生的思維就沒有得到開發，解析幾何的核心并沒有得到體現，這會給學生后續學習圓錐曲線埋下了隱患.

因為解析幾何是在建立的坐標系中，平面上的點能夠與有序實數對之間建立起對應關系，從而使平面上某些曲線與某些方程之間建立對應關系;使平面圖形的某些性質（形狀、位置、大?。┛梢杂孟鄳臄怠⑹奖硎境鰜?使平面上某些幾何問題可以轉化為相應的代數問題來研究，很多解析問題并不是都可以用幾何法來解決的，學生應該在高一學習直線和圓的時候就建立起這種意識，作為教師應該注意引導，而不是追求純粹的解題正確率，而忽視了數學核心思想方法的教學.

數學是研究數量關系與空間形式的一門科學，是一切科學和技術的基礎，是我們思考和解決問題的工具，不同于歐氏幾何把幾何與邏輯思想結合起來，用邏輯推理方法研究幾何問題，解析幾何通過坐標系，把幾何中的點與代數的基本研究對象數（有序數對）對應，然后建立圖形（曲線）與方程的對應，從而把幾何與代數緊密結合起來，用代數方法解決幾何問題，這是數學的重大進步.

因此，在解析幾何初步的教學中，教師應該引導學生學會在平面直角坐標系中建立直線和圓的代數方程，能夠運用代數方法研究他們的幾何性質及其相互位置關系，體會數形結合的思想，初步形成用代數方法解決幾何問題的能力.