兩自由度減振鏜桿系統的安全盆侵蝕與分岔

石建飛， 茍向鋒， 張艷龍

(1. 天津工業大學 機械工程學院，天津 300387； 2. 蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

切削振動是影響加工表面質量和刀具耐用度的主要因素之一。近年來，學者對減振鏜桿系統的模型和減振效果進行了研究,其中主要針對系統模型的簡化及其參數優化。Andern等[1]建立了Euler-Bemoull減振鏜桿模型。Andem和Meic等[2-3]采用新材料、新結構實現鏜桿的減振。Evita等[4]設計了一種摩擦減振刀桿，利用刀桿的主結構與減振塊接觸面間的摩擦消耗振動能量，有效抑制了刀桿的振動。羅紅波等[5]采用全局尋優數值搜索法和幅頻響應曲線面積最小法對內置式減振鏜桿動力學模型的參數進行了優化。趙永成等[6]實驗研究了精鏜孔時液膜阻尼對系統的減振效果，發現擠壓液膜阻尼器在精鏜加工時能提高孔加工質量。秦柏[7]用 ADAMS/ ANSYS仿真分析了減振鏜桿各參數的影響。夏峰等[8]設計了一種新的約束阻尼性鏜桿，并對該模型的參數進行了優化。劉立佳等[9]分析了減振鏜桿振動控制的研究狀況，指出減振鏜桿減振技術在理論方面依然存在制約因素。目前很少有文獻考慮減振鏜桿系統在非線性因素下的減振效果，在減振鏜桿系統中，減振塊和鏜刀桿之間由橡膠圈和阻尼液相連接，在建模過程中將橡膠圈和阻尼液轉化為等效彈簧力和阻尼力時，其非線性因素的影響不可忽略，所以有必要對鏜桿系統在非線性因素下的振動特性進行研究。

系統實際振動過程中最關心的是系統振蕩的有界性問題。因為質點的運動振幅超過一定限度，往往會導致結構的破壞，從而產生了對安全盆的研究[10-12]。戎海武等[13]研究了諧和與噪聲聯合作用下Duffing振子的安全盆分岔與混沌，推導了系統的隨機Melnikov過程，在隨機擾動下系統的安全盆分岔點發生了偏移。Shang[14]研究了時滯位移反饋對Helmholtz振子系統的分形侵蝕安全域的控制，發現時滯量的增大能有效地抑制安全盆的侵蝕。葛根等[15]對形狀記憶合金梁在簡諧和白噪聲聯合激勵下的混沌及安全盆侵蝕現象進行了研究，發現隨機激勵幅值的增大會增強安全盆的內部出現分形特性。然而對系統安全盆的研究主要針對單自由度系統安全盆的侵蝕及控制，對雙自由度系統安全盆的侵蝕卻少有研究。

本文建立兩自由度減振鏜桿系統的非線性動力學模型，研究系統在外激勵頻率和阻尼系數變化時安全盆的侵蝕和分岔現象。通過計算系統安全盆在侵蝕過程中的最大Lyapunov指數，分析系統安全盆出現分形侵蝕和邊界侵蝕時其最大Lyapunov指數的變化特性。

1 減振鏜桿系統的力學模型

減振鏜桿系統由一個連續體和一個減振單元組成，如圖1所示。鏜桿的減振系統由大密度的減振塊4和在減振塊兩端起支撐作用的橡膠圈2組成，減振塊被阻尼液5所環繞。在加工過程中，鏜桿振動所產生的動能將被其內部質量塊4吸收，使得鏜桿振動減小，改善了系統的切削狀況。根據振動力學的理論分析可知，這樣的系統建立方程很不方便，須進行簡化[16]，將鏜桿桿體1、兩端墊片3、堵塊6和刀頭7作為主系統(連續體)；將兩端橡膠圈2、減振塊4和阻尼液5作為減振器(減振單元)。令M1為主系統質量，K1和C1分別為主系統的彈性系數和阻尼系數；M2為減振塊4的質量，K2和C2分別為橡膠圈2的彈性系數和阻尼液5的阻尼系數。用集中質量法建立其簡化的動力學模型如圖2所示。圖2中，由M1、K1、C1組成的系統稱之為主系統，由M2、K2、C2組成減振器，Fcos(ΩT+φ)為系統外激勵。

1.鏜桿桿體；2.橡膠圈；3.墊片；4.減振塊；5.阻尼液；6.堵；7.刀頭圖1 動力減振鏜桿結構示意圖Fig.1 Structure of dynamic damping boring bar

考慮減振器橡膠圈和阻尼液對振動系統非線性因素的影響，建立減振鏜桿系統的運動微分方程如下：

(1)

(2)

(3)

方程(1)、(2)和(3)中，“··”和“·”表示對時間T分別求二階導數和一階導數。

圖2 減振鏜桿系統的動力學模型Fig.2 dynamics model of damping boring bar system

(4)

式中

(5)

(6)

2 系統安全盆的侵蝕與分岔

系統的安全盆可由相空間的一個有界區域D來定義，使得以安全盆內部的點為起始點出發的軌線在時間趨于無窮大時仍在區域D內運動，構成了系統的安全解。即以安全盆外部的點為起始點出發的軌線在時間趨于無窮大時將逃逸出區域D，構成系統的不安全解，將導致系統結構的破壞與崩潰。安全盆的結構與某些吸引子的吸引域的結構相似[20]，當系統參數發生變化時，安全盆的面積和形狀也將發生改變，即形成了安全盆的侵蝕。混沌運動也是有界的，安全盆內某些點為初值的運動是穩定周期運動或混沌運動。

2.1 安全盆的邊界分形侵蝕與分岔

首先研究當ω變化時，系統安全盆的變化情況。選取系統參數M1=40 kg，M2=50 kg，F=112 N，C1=73 N·s/m，K1=0.44×106N/m，C2=303 N·s/m，K2=0.88×105N/m。將參數代入方程(1)，經計算得系統無量綱參數，如表1所示。

表1 系統無量綱參數取值表

(7)

并將該區域劃分成個胞空間，將每個胞的中心點作為系統解的初始值。當系統通過這些初始值的解在足夠長的時間如10 000時間單位內逃逸出區域D1，則認為此解是不安全；如果沒有逃逸出區域D1，則近似的認為它是安全、有界的解。選取表1系統無量綱參數值，對于不同的ω，系統安全盆變化情況，如圖3所示。

圖3中的黑色部分代表導致系統安全解的初始值組成的部分，構成了系統的安全盆；而灰色部分則代表導致系統不安全解的初始值組成的部分。當ω=0.74時，系統在有界區域D1內均為安全解，在該區域內系統為完整的安全盆(即沒有受到侵蝕)，如圖3(a)。當ω增大至ω>0.740 6時，在有界區域D1內系統出現灰色區域，系統安全盆受到侵蝕。當ω=0.741時系統安全盆如圖3(b)所示，此時系統安全盆已經被侵蝕。隨著ω的增加，灰色不安全區域的面積不斷增大，安全盆被侵蝕程度不斷增強，如圖3(c)所示。當ω>0.742 4時，系統安全盆如圖3(d)所示，黑色安全盆邊界變得不光滑，在黑色安全盆內出現了具有自相似結構的相互纏繞的灰色條紋，同樣在灰色不安全區域內出現了具有自相似結構的相互纏繞的黑色條紋，通過盒子維方法[21]計算系統安全盆邊界的分數維為1.432 5，表明系統安全盆出現邊界分形侵蝕的現象。此時系統運動極不穩定，系統對初值極度敏感，初值的微小移動都將導致系統結構破壞或崩潰，在實際振動中應避免此類參數。隨著ω繼續增加，黑色安全域的面積不斷增加，灰色不安全域的面積逐漸減小，但安全盆分形侵蝕的結構依然存在，而且隨著ω的變化其分形結構也在不同程度的變化，如圖3(e)～(h)所示。同樣該參數對系統振動極為不利，容易引起系統結構的破壞。隨著ω進一步增大，安全盆邊界逐漸變得光滑，其自相似結構逐漸消失，系統分形侵蝕結構也不斷退化消失，如圖3(i)所示；當ω增加到0.748時，系統分形結構被完全侵蝕，此時系統安全區域面積不斷減小，不安全區域面積不斷增大，如圖3(j)～(k)所示。計算發現當ω>0.751 6時，安全盆完全消失，即在有界區域D1內對任何初始值，系統解都是不安全的，如圖3(l)所示。

由圖3知，隨著外激勵頻率ω的變化，系統安全區域發生豐富而又復雜的變化，安全盆也受到不同程度的侵蝕。如果將安全盆的突變現象(從完整的安全盆到侵蝕、直至完全消失)看作為一種分岔現象，將ω作為分岔參數，則ω1=0.740 6，ω2=0.742 4，ω3=0.751 6是系統的三個分岔點。即當ω<ω1時，系統安全盆沒有被侵蝕，當ω>ω1時，安全盆被慢慢侵蝕，見圖3(a)和3(b)；當ω<ω2時，系統安全盆沒有出現分形侵蝕，當ω>ω2時，安全盆出現分形侵蝕，見圖3(c)和3(d)；當ω<ω3時，系統安全盆沒有完全消失，當ω>ω3時，安全盆完全消失，見圖3(k)和3(l)。

圖3 系統安全盆隨ω的變化Fig.3 The erosion of safe basins of system via ω

由此可見，外激勵頻率ω的變化對系統安全盆的侵蝕過程以及分岔過程有重要的影響，是引起系統安全盆出現邊界分形侵蝕的主要因素之一，也是影響系統振動安全性的主要因素之一。

2.2 安全盆的邊界光滑侵蝕與分岔

(8)

并把此區域劃分成500×500個胞空間，將每個胞的中心點作為系統解的初始值。選取表2系統無量綱參數值，對于不同的ζ2，系統安全盆變化情況如圖4所示。

圖4(a)為完整的安全盆圖形。當ζ2增加至ζ2>0.247時，系統安全盆開始慢慢被侵蝕，如圖4(b)～(d)所示，黑色安全域的面積不斷減小，灰色不安全域的面積不斷增加，安全盆被侵蝕的程度不斷增強。隨著ζ2的繼續增加，黑色安全盆不斷從左右兩邊侵蝕，使系統安全盆變成一條類似河流的黑色“窄帶”，而且隨阻尼系數ζ2的增加，安全盆變得越來越窄，如圖4(e)～(h)所示，在有界區域D2內，系統在絕大部分區域內表現為不安全，而安全區域的面積變得非常小，甚至變成了一條曲線，見圖4(h)。在此參數條件下，系統振動變得非常危險，在大部分區域內系統解都不安全。計算發現當ζ2>0.507時，系統安全盆被完全侵蝕，在整個有界區域D2內系統均表現為不安全解。

表2 系統無量綱參數取值表

由圖4知，隨ζ2的增大，系統經歷了由完整安全盆到慢慢被侵蝕、最終到安全盆完全消失的過程。如果將安全盆的突變現象(從完整的安全盆到侵蝕、直至完全消失)看作為一種分岔現象，將ζ2作為分岔參數，則ζ2=0.247，ζ2=0.507是系統的兩個分岔點。即當ζ2<0.247時，系統安全盆沒有被侵蝕，當ζ2>0.247時，系統安全盆開始慢慢被侵蝕，見圖4(a)和4(b)；當ζ2<0.507時，系統安全盆沒有被完全侵蝕，見圖4(h)，當ζ2>0.507時，系統安全盆完全被侵蝕。

圖4 系統(4)安全盆隨ζ2的侵蝕過程Fig.4 The erosion of safe basins of system (4) via ζ2

由此可見，阻尼液系數ζ2的變化同樣對系統安全盆的侵蝕與分岔有重要影響。但在整個侵蝕過程中并沒有出現具有自相似結構的分形邊界，系統安全盆邊界始終是光滑的，安全盆的侵蝕屬于邊界光滑侵蝕。下文根據系統最大Lyapunov指數研究安全盆出現邊界分形侵蝕和邊界光滑侵蝕的機理及其區別。

3 安全盆侵蝕的Lyapunov指數分析

安全盆的侵蝕意味著系統運動穩定性的破壞，而最大Lyapunov指數是判斷系統運動是否穩定最直接、最有效的方法之一。對比圖3，當ω=ω1=0.740 6時系統安全盆發生分岔，即安全盆開始被侵蝕，但在侵蝕過程中并沒有出現分形侵蝕結構，選取表1中系統無量綱參數，取ω=0.74和ω=0.741分別計算其最大Lyapunov指數隨迭代次數n的變化圖如圖5(a)和5(b)所示，圖中采用了100 000次迭代，并將前40 000次迭代作為暫態予以略去(下同)，由圖可見，在安全盆分岔前后其最大Lyapunov指數均小于零，表明此時系統安全盆受到侵蝕后并沒有出現混沌運動。系統振動幅值不斷擴大并逃逸出有界區域D1，導致系統安全盆受到侵蝕。

圖5 分形侵蝕時系統最大Lyapunov指數Fig.5 The Top Lyapunov Exponent of the system with the change of iteration number n as fractal erosion

在圖3中，當ω=ω2=0.742 4系統安全盆再次發生分岔，分岔后系統安全盆出現分形侵蝕結構，其它參數保持不變，分別取ω的值為0.742、0.742 4、0.743和0.744，計算其隨迭代次數n變化時的最大Lyapunov指數如圖5(c)所示，圖中當ω=0.742時(即安全盆分岔前，系統安全盆沒有出現分形侵蝕結構)，其最大Lyapunov指數仍小于零；當ω=0.742 4時系統安全盆發生分岔，其最大Lyapunov指數在零線附近上下波動；當ω=0.743時(即安全盆分岔后，系統安全盆出現分形侵蝕結構)，其最大Lyapunov指數大于零。經計算發現當系統安全盆出現分形侵蝕結構時，其最大Lyapunov指數始終大于零，而且分形侵蝕結構越復雜，其最大Lyapunov指數值越大。

當系統最大Lyapunov指數大于零時，系統出現混沌運動，意味著穩定流形和不穩定流行在Poincaré截面上橫截相交，出現同宿分岔。由于同宿軌線斷裂會引起安全盆邊界的分形[22]，所以只有當系統最大Lyapunov指數大于零時，系統安全盆才可能出現分形侵蝕的結構。這與文獻[13]根據Melnikov過程在均方意義上出現簡單零點的條件給出系統安全盆出現分形侵蝕的臨界值在結論上相一致。

對比圖4，系統安全盆從兩邊邊界不斷被侵蝕，當ζ2=0.247時系統安全盆發生分岔，即系統完整的安全盆開始被侵蝕，但在侵蝕過程中系統邊界始終是光滑的，沒有出現自相似的分形結構。取表2系統無量綱參數，分別選取阻尼系數ζ2的值為0.24和0.25計算系統在分岔點前后其最大Lyapunov指數隨迭代次數n的變化圖如圖6(a)和6(b)所示，由圖知系統最大Lyapunov指數值在安全盆分岔前后均小于零，即系統安全盆受到侵蝕后并沒有出現混沌運動；當ζ2=0.507時系統安全盆再次發生分岔，系統安全盆被完全侵蝕，同樣在侵蝕過程中沒有出現分形結構，保持其它參數不變，分別取ζ2=0.47和ζ2=0.51計算其隨迭代次數n變化時的最大Lyapunov指數如圖6(c)所示，由圖知，即使系統安全盆被完全侵蝕，系統振動變得不安全，但其最大Lyapunov指數在安全盆分岔前后均小于零。經計算發現圖4中在安全盆的侵蝕過程中，系統最大Lyapunov指數始終小于零。由此可見，系統安全盆在邊界光滑侵蝕過程中并沒有出現混沌運動，只是系統振動幅值有所擴大并跳出有界區域D2，導致系統安全盆受到侵蝕。

圖6 邊界侵蝕時系統最大Lyapunov指數Fig.6 The Top Lyapunov exponent of the system with the change of iteration number n as boundary erosion

綜上所述，隨系統參數的變化，在安全盆的侵蝕過程中，當系統最大Lyapunov指數大于零時，系統出現混沌運動，系統穩定流形和不穩定流行在Poincaré截面上橫截相交，出現同宿分岔，同宿軌線的斷裂導致系統安全盆出現邊界分形侵蝕的結構。在安全盆邊界光滑侵蝕過程中，系統相應最大Lyapunov指數始終小于零，安全盆邊界光滑侵蝕是由系統振動幅值不斷擴大并逃逸出有界區域而引起的，在此過程中系統并沒有出現混沌運動，也沒有出現同宿分岔。也就是說，在安全盆侵蝕過程中，只有當系統最大Lyapunov指數大于零時，系統才有可能出現分形侵蝕的結構。

4 結 論

本文考慮減振鏜桿系統中橡膠圈和阻尼液的非線性因素對系統動力學特性的影響，建立了系統的非線性動力學模型。研究系統隨外激勵頻率ω和阻尼系數ζ2變化時安全盆的侵蝕與分岔，結合最大Lyapunov指數對減振鏜桿系統安全盆的侵蝕與分岔過程進行了分析，得到以下結論：

(1)隨著外激勵頻率ω的增加，系統完整的安全盆逐漸侵蝕，在此過程中系統最大Lyapunov指數始終小于零，系統沒有出現混沌運動；當ω增加到一定值時，系統最大Lyapunov指數大于零，系統穩定流形和不穩定流形在Poincaré截面上橫截相交，出現同宿分岔，同宿軌線斷裂導致安全盆邊界出現分形侵蝕結構。

(2)隨著阻尼系數ζ2的增加，系統安全盆由兩邊界不斷被侵蝕并最終消失。在安全盆的侵蝕與分岔過程中，安全盆的邊界始終是光滑的，系統沒有出現邊界分形侵蝕的結構，其最大Lyapunov指數始終小于零，系統沒有出現混沌運動，只是系統振動幅值不斷增大并跳出有界區域，導致系統安全盆被侵蝕，從而導致系統振動結構的破壞。

(3)當安全盆出現邊界分形侵蝕時，系統出現混沌運動，其相應的最大Lyapunov指數大于零；當安全盆出現邊界光滑侵蝕時，系統并沒有出現混沌運動，其相應的最大Lyapunov指數始終小于零，只是振動幅值有所增大而已。此外，在判斷安全盆是否出現分形侵蝕結構時，與Melnikov過程相比，本文通過計算系統Lyapunov指數給出系統出現分形結構的臨界值的方法計算簡單、方便，通用性強。本文的研究結果對減振鏜桿的設計及參數優化有一定的理論參考價值。