從一道課本習題說開去

丁興春

根據上面的結論可知，當點P在圓O上時，作出直線l很容易，這時因為直線l是一條過點P且與圓O相切的直線，據此我們就會自然而然地提出下列兩個問題：

問題1：當點P（a，b）在圓O外時，怎樣作出這樣的直線l？

問題2：當點P（a，b）在圓O內（異于坐標原點O）時，怎樣作出這樣的直線l？

我們先來研究第一個問題.此時，直線l與圓O是相交的，

第一步，作出以OP為直徑的圓M，交圓O于A，B兩點;

第二步，連結A，B，所得直線AB即為l（如圖1）.

由于OP為圓M的直徑，故連結PA，PB，OA，OB可得OA⊥PA，OB⊥PB，于是PA，PB均為圓O的兩條切線，于是直線l也可以通過如下步驟作出來：

第一步，過圓O外的點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B;

第二步，連結A，B，所得直線AB即為l（如圖2）.

下面我們再來研究第二個問題.當點P（a，b）在圓O內（異于坐標原點O）時，怎樣作出直線l.

過點P任作一直線l₁交圓O于點A₁，B，，分別過點A₁，B₁作圓O的兩條切線相交于點Q₁，不妨設點Q₁的坐標為點（x₁，y₁），由第一個問題的討論可知x₁，y₁滿足方程ax₁+by₁=r₂.同樣再過點P任作另一條直線l₂交圓O于點A₂，B₂，分別過點A₂，B₂作圓O的兩條切線相交于點Q₂，不妨設點Q₂的坐標為點（x₂，y₂），則有ax₂+by₂=r₂.根據ax₁+by₁=r₂及ax₂+by₂=r₂可知，點Q₁，Q₂均在直線ax+by=r₂上，于是直線Q₁Q₂即為直線l（如圖3）.

如學至《必修4》，我們還可利用向量方法給出這三條直線方程的證明.

1.點P（a，b）在圓O：x₂+y₂=r₂（r>0）上，則過點P與圓O相切的直線l的方程為ax+by=r₂.

2.點P（a，b）在圓O：x₂+y₂=r₂（r>0）外，過點P作圓O的兩條切線PA，PB（A，B為切點），則直線AB的方程為ax+by=r₂.

證明 如圖5，設Q（x，y）為直線AB上任意一點，

3.點P（a，b）在圓O內（異于坐標原點O），過點P任作兩條直線l₁，l₂交圓O于點A₁，B₁;A₂，B₂，分別過點A₁，B₁作圓O的兩條切線相交于點Q₁，分別過點A₂，B₂作圓O的兩條切線相交于點Q₂，則直線Q₁Q₂的方程為ax+by=r₂.