數(shù)形結(jié)合話直線

謝秀芳 張登林

解析幾何的思想精髓表現(xiàn)在它所提供的數(shù)形結(jié)合思想上，在這一思想的指引下，一個幾何對象被數(shù)（坐標）所完全刻畫，幾何概念可以表示為代數(shù)的形式，幾何目標可以通過代數(shù)方法來達到;反過來，它使代數(shù)語言得到了幾何解釋，從而代數(shù)語言有了直觀意義，人們能從中得到啟發(fā)而提出新的結(jié)論，下面我們結(jié)合我們解析幾何的入門知識——直線斜率和直線方程，來體驗一下數(shù)形結(jié)合思想的美妙之處.

1.直線斜率知識的應(yīng)用

例1 如圖1，在矩形ABCD中，AC= ，AB=1，點E為BC的四等分點，點F為CD中點.證明：AE⊥BF.

看完題目是不是有種親切感，對！這是初中平面幾何的題目，想一想你現(xiàn)在還會做嗎？利用△ABE，△BCF相似不難證明出∠FBC+∠AEB=90°，現(xiàn)在你能不能從解析幾何的角度來證明呢？在解析幾何部分要證明兩直線垂直用什么判斷？斜率！斜率怎么計算？直線上兩點的坐標！本題中有坐標嗎？沒有！必須自己建系.盡可能多用已知圖形的垂直關(guān)系和對稱關(guān)系，使我們需要的點的坐標容易寫出來，顯然以BC所在直線為z軸，BA所在直線為y軸建系比較合適，下面寫出需要的四個點A，E，B，F(xiàn)的坐標，再利用斜率公式k=y₁-y₂/x₁-x₂計算兩條直線的斜率k_AE，k_BF，算算k_AE·k_BF=-1嗎？這個工作就交給你來完成吧，

做完后比較一下兩種方法，你有什么體會？解析幾何的方法省去不少抽象的思維，變成了非常直接的線性思維，把形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為了數(shù)的運算.

例2 求函數(shù)f（x）=2x-3，x∈[1，3]的值域，

求函數(shù)值域的關(guān)鍵是研究出它在這個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，目前我們有兩種方法研究單調(diào)性，一是用單調(diào)性定義嚴格證明，一是通過間接作出函數(shù)圖象去觀察，證明的方法這里我們不再贅述，下面我們復(fù)習(xí)一下，函數(shù)f（x）=2x-3/x+2=2（x+2）-7/x+2=2-7/x+2，x∈[1，3]的圖象，它可由函數(shù)f（x）=-7/x的圖象怎么變化而來？自己動手畫一畫吧，看出在區(qū)間[1，3]的單調(diào)性沒有？（單調(diào)遞增）

下面我們看看用直線的相關(guān)知識該如何解決.函數(shù)的解析式和直線的什么知識在形式上很像呢？聯(lián)想一下……

斜率公式k=y₁-y₂/x₁-x₂，f（x）=2x-3/x+2，x∈[1，3]兩者都是分式，f（x）能否看成經(jīng)過兩點的直線斜率呢？一個定點Q（-2，3），一個動點P（x，2x），動點在什么范圍內(nèi)運動？動點的縱坐標是橫坐標的兩倍，動點在直線y=2r上且x∈[1，3]，如圖3所示：

這樣求原函數(shù)的值域就轉(zhuǎn)化成了過點Q作直線能與線段AB相交，求直線斜率的取值范圍，你能分析出斜率的范圍是在k_AQ，k_BQ之間，還是之外嗎？（注意傾斜角的變化范圍）剩下的運算工作就交給你啦！ 答案：[-1/3，3/5]

學(xué)習(xí)解析幾何初步后出現(xiàn)的新解法，有沒有給你的解題帶來很驚喜的感覺呢？當把“數(shù)”賦予“形”的意義后，題目頓時變得多么生動和直觀啊！

2.直線方程知識的應(yīng)用

例3 如圖4，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直;經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=4/3，求新橋BC的長.

分析 在解析幾何里要求一個線段的長度，我們可以通過兩點間距離公式計算線段兩端點之間的距離，那就需要知道B，C兩點的坐標，

首先我們需要建立平面直角坐標系，顯然以O(shè)為坐標原點，正東方向為x軸，正北方向為y軸，這樣C點坐標就出來了：C（170，0），B點坐標怎么辦呢？當C點和A點確定以后，根據(jù)題目條件B點是怎么確定的呢？B點是直線AB和直線CB的交點，交點坐標就是它們兩條直線方程構(gòu)成的方程組的解，至此問題落實到求直線的方程，而這兩條直線上各有一個確定的點，只要知道斜率即可！已知tan∠BCO=4/3，它與直線BC的斜率有什么關(guān)系呢？直線AB又與直線BC垂直，是不是斜率也就可以算出來了？下面自己動手去實踐一下吧，這可是一道高考題哦（BC的長是150m）.

上面我們通過3個題目，初步體驗了用解析幾何的相關(guān)知識來處理問題的思路和方法，你是否有眼前一亮、豁然開朗的感覺呢？對“數(shù)形結(jié)合”思想的體會是不是更深刻了？