對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的歸類(lèi)探析

陳乾美

對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是曲線(xiàn)上的點(diǎn)與點(diǎn)間的對(duì)稱(chēng)，抓住對(duì)稱(chēng)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，可將幾何對(duì)稱(chēng)（圖形語(yǔ)言）轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)（相關(guān)點(diǎn)）及方程（符號(hào)語(yǔ)言）.

考慮到同學(xué)們剛接觸解析幾何，我們借助例題的形式來(lái)對(duì)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單歸類(lèi)，期待能給同學(xué)們一些啟示.

一、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題主要有點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)兩類(lèi).

二、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)兩類(lèi).

分析 （1）直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，顯然這兩直線(xiàn)是平行關(guān)系且已知點(diǎn)到兩直線(xiàn)的距離相等，這樣，利用待定系數(shù)法即可輕松求解;

（2）直線(xiàn)關(guān)于一般直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，我們可以利用點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的方法，任意從已知直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，求出關(guān)于一般直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)后，利用兩點(diǎn)式就可以得到對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程.

點(diǎn)評(píng) 直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的解題方法雖然比較巧妙，充分利用了幾何的性質(zhì)，但是與第（2）問(wèn)一比較，我們也很容易想到，還可以在直線(xiàn)上任意取點(diǎn)，求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)后用兩點(diǎn)式表示對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程.

求解直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，方法還是很多的，從幾何的思路出發(fā)，多思考，結(jié)合數(shù)形轉(zhuǎn)化，就會(huì)豁然開(kāi)朗.

三、利用對(duì)稱(chēng)求最值問(wèn)題

利用對(duì)稱(chēng)求最值實(shí)質(zhì)是用線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化.利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可求距離之和的最小值;由三角形的兩邊之差小于第三邊，可求距離之差的最大值.靈活利用對(duì)稱(chēng)性求解最值能使解題過(guò)程簡(jiǎn)明扼要.

點(diǎn)評(píng) 此題靈活利用對(duì)稱(chēng)，借助圖形很直觀地將無(wú)從下手的最值問(wèn)題簡(jiǎn)捷化，將代數(shù)問(wèn)題幾何化.

由以上3個(gè)例題的歸類(lèi)探究，發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)直線(xiàn).求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的通法是先設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，再用垂直、平分聯(lián)立方程組求解.

求對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的通法：先設(shè)對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)上任意P'點(diǎn)的坐標(biāo)，再由垂直和平分求P'的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)P坐標(biāo)代入已知直線(xiàn)方程即可.

在學(xué)完直線(xiàn)與方程后，需將對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納總結(jié)，這樣才能對(duì)該知識(shí)有一個(gè)完整的、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手.