靈活選用圓方程

黃曉勇

《孫子·謀攻篇》中說：“知己知彼，百戰(zhàn)不殆，”意思是“如果對敵我雙方的情況都能了解透徹，打起仗來就可以立于不敗之地”.在求圓的方程的問題中，我們應(yīng)該如何捕捉題中蘊含的信息，合理選擇圓的方程形式呢？

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）₂+（y-b）₂=r₂（r>0）的優(yōu)點是幾何特征明顯，其中圓心坐標(biāo)（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形（大小）條件，只要圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一出現(xiàn)，大家立即就可以畫出一個相應(yīng)的圓來.此外，我們還發(fā)現(xiàn)：如果a，b為定值，r為變量，則表示一組半徑改變的同心圓;如果r為定值，a，b為變量，則表示一組圓心變動的等圓.

讓我們一起來看道題：

原題 已知圓c經(jīng)過A（4，2），B（-1，3）兩點，且圓心在l：x-y+1=0上，求圓C的方程，

本題的條件提到了圓心，我們不妨先試著設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解，只需確定圓心位置與半徑大小即可，可以先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而后用待定系數(shù)法求出圓心坐標(biāo)和圓半徑，

由上例可見，與圓心、半徑有關(guān)的問題，常選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，本題還可利用圓的幾何性質(zhì)，抓住圓C經(jīng)過點A（4，2）和B（-1，3）的特點，得出圓心C在線段AB的垂直平分線m上，又圓心C在直線l上，因此圓心C是直線l與直線m的交點，半徑長等于CA或CB，問題也可以迎刃而解.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可謂是攻城拔寨的良將，但是我們也不能忽略了圓的一般方程x₂+y₂+Dx+Ey+F=0（其中D₂+E₂-4F>0）.它本身是一個特殊的二元二次方程，更多地體現(xiàn)了方程形式上的特點，顯然，它的代數(shù)特征鮮明，根據(jù)三個條件可以得到三個一次方程，聯(lián)立方程組就可以求出三個參數(shù)D，E，F(xiàn)，從而得到圓方程，思路簡單，計算不會出現(xiàn)太多思維上的障礙，人人都必須掌握.而且這三個參數(shù)還可以用來判斷一個二元二次方程是不是圓，比如：直觀地看一看“是否滿足x₂，y₂項的系數(shù)相等且不為零，不含有xy項”，如果連這一關(guān)也通不過，就肯定不是圓了.

還是上面的問題，我們只是變換一個條件，你會怎么處理？

變式 一圓經(jīng)過A（4，2），B（1，3）兩點，且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距之和為2，求此圓的方程，

這道變式題，題設(shè)條件變?yōu)榱恕皟勺鴺?biāo)軸上的四個截距之和為2”，此條件與圓心、半徑無直接關(guān)系，圓的一般方程完全可以使上勁，如果你還是一味地設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解，反而會麻煩些，

反思整個解題過程：利用方程根與系數(shù)的關(guān)系，巧妙解答了截距之和的困惑.這是很明顯的代數(shù)方程的方法，用一般式更簡捷.

當(dāng)然，如果你別出心裁，看出了圓心與截距的關(guān)系（橫截距之和為圓心橫坐標(biāo)的2倍，縱截距之和類似），則不存在上述問題，但會發(fā)現(xiàn)最后的聯(lián)立的方程組

有些復(fù)雜，出現(xiàn)了三元二次方程，解此方程組需要一定的技巧性.不敢說千辛萬苦，費一番力氣肯定少不了的.萬一一不小心，算錯一個數(shù)據(jù)，則滿盤皆輸！可見，有時候解題，一般方法比技巧更有效率.

讓我們回到最初的原題，細心的讀者琢磨一下，也會有所發(fā)現(xiàn)，我們?nèi)绻O(shè)一般方程求解，同樣會顯得捉襟見肘，由第三個條件“圓心在l：x-y+1=0上”怎么得出方程？還是要回到標(biāo)準(zhǔn)方程的形式才能得出來，這么一來不就也顯得累贅了么？

好了，通過原題其及變式問題的研究，我們不妨再來回顧整理一下選擇圓方程的依據(jù)：如果已知條件易求圓心、半徑或需要圓心坐標(biāo)列方程，常選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;如果已知條件與圓心、半徑關(guān)系不密切（如已知圓過三點）或所給條件與圓方程的系數(shù)有關(guān)聯(lián)，常選用圓的一般方程，

圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它們各有優(yōu)劣.在解題時，要想少走彎路，就要靈活選用圓的方程形式，多用數(shù)形結(jié)合思想，因為設(shè)計合理的解題途徑比單純訓(xùn)練提高運算能力更為重要.

最后，要提醒大家的是：解析幾何雖然是用代數(shù)方法解決幾何問題，但幾何方法不能舍棄.求圓的方程時，要注意與初中平面幾何的知識相聯(lián)系，如圓的幾何性質(zhì)等（體現(xiàn)了代數(shù)方法、幾何方法的交織），這樣不僅能使思路簡捷明了，而且還能減少計算量.此外，還要注意與代數(shù)、三角等知識聯(lián)系，恰當(dāng)利用，簡化問題.

鞏固練習(xí)

1.已知圓C與直線x-y=0及x-y4-0都相切，圓心C在直線x+y=0上，求圓C的方程.

2.已知一圓過P（4，-2），Q（-1，3）兩點，且在y軸上截得的線段長為 ，求圓的方程.

參考答案

1.（x-1）₂+（y+1）₂=2.

2.x₂+y₂/2x-12=0或x₂+y₂-10x-8y+4=0.