數學課堂教學的厚度、寬度和長度
——《正弦、余弦定理習題課》的教學設計與感悟

江蘇省無錫市立人高級中學 (214161)

鄭寶生 趙 勤

作為數學課的一種重要形式——習題課，有些教師把它上成解題訓練課，大搞題海戰術以多取勝；也有些教師搞題型分類課，讓學生見到什么題型就用什么解法，固化學生的思維．我們有必要重溫一下普通高中《數學課程標準》：“數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態．”反思我們的習題課教學，如何在解題中講道理、夯實基礎？如何設計適合學生的探究活動、拓展知識、開闊思維？如何讓學生在歸納總結中提煉思想，體驗成功樂趣，發展理性思維？本文以《正弦、余弦定理習題課》為例，談談對這一問題的認識．

一、習題課例

(一)目標解析

通過學生練習回憶正弦定理和余弦定理，體會什么條件下用正弦定理，什么條件下用余弦定理，什么條件下解三角形會產生兩解；通過求三角形的邊或角拓展問題，找出解三角形的一般方法；通過解題改編問題，找出處理三角形中角的關系式、邊的關系式、三角函數關系式的一般規律．在操作中反思，學習質疑問題，培育理性精神；在求解中探索，激發學生的主體意識，拓展思維寬度；在解題后改編問題，發揮學生的主體作用，提煉思想方法．

(二)學情分析

學生對于正弦、余弦定理的簡單應用是能夠解決的．然而，他們對于“在什么條件下用正弦定理、什么條件下用余弦定理”存在疑慮，很少思考“為什么用正弦定理而不用余弦定理？”的問題，缺乏反思問題和質疑問題的意識，更想不到去拓展問題和改編問題．本節課的重點是：尋找求解三角形邊和角的一般規律和方法；難點是：如何處理三角形中角的關系式、邊的關系式以及三角函數關系式．

(三)教學過程

1．練習回顧

設置意圖：給學生提供最簡單、最直觀的例子，讓學生在操作中感悟問題及問題的解法．

2．提出問題

問題1 解完上述題目，你有什么感受？

活動預設：(1)解上述題目，需要用到哪些知識？

(2)在什么條件下用正弦定理，什么條件下用余弦定理？說明理由．

(3)題1能否用余弦定理來解？題2能否用正弦定理來解？題3呢？哪種方法更簡單？說明理由．

(4)為什么題1和題2只有一個解而題3會產生兩解？

設置意圖：通過學生的解題，讓學生談感受．他們可以回顧所學知識，也可以對我們一般的解題方式提出質疑，也可以對上述三個問題進行比較等等．留出更多的時間，讓學生說出自己的困惑，解答內心的疑慮．

例1 判定下列三角形各有幾解？

(1)b=13，a=26，B=30°；

(2)c=16，b=26，C=30°；

(3)a=30，b=26，A=30°．

【回顧】判定三角形有幾個解，關鍵是什么？

設置意圖：由于本節課是習題課，學生已經學習了已知兩邊一對角判定其解的個數，這里一方面讓學生復習鞏固，另一方面把原來用式子表達：當bsinA

問題2 對于題2你認為還可以求什么？

活動預設：(1)求cosB、tanC；(2)求面積SΔABC；(3)求BC邊上的高和中線以及∠B的平分線．

設置意圖：把一個簡單問題利用學生的聰明才智可以擴展出許多問題，給學生提供一個聯想和發現的機會，演繹問題的變化過程，激發學生的主體意識．

圖1

例2 如圖1，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BAD=60°，∠BCD=135°，求BC的長及sin∠ABC．

【回顧】在上述問題中，求三角形的邊和角有怎樣的規律？

設置意圖：結合問題2中求BC邊上的高和中線以及∠B的平分線，歸納并概括求解三角形邊和角的一般思維方法，培養學生分析問題和解決問題的能力．

問題3 你能把題1做一些改變嗎？變得更簡單些或變得更難些．

(2)△ABC中，A=4C,b=c，則∠C= ；

設置意圖：依托題1進行的問題改編，有一定的開放空間．從邊的數值和角的數值，上升到角與角的關系和邊與邊的關系，還可以利用三角函數的關系以及三角形面積、外接圓等，有些問題容易解，有些問題解起來有困難，可以留在課后．這里只是給學生搭建一個發揮想象、展示個性的創新平臺，讓學生的主體作用得到充分地發揮．

【回顧】①解上述問題有何規律？

設置意圖：在開放的空間中聚焦到某一個問題上．總結處理角的關系和邊的關系以及三角函數關系式的一般方法，提煉體現這些方法的數學思想．

3．課堂小結

(1)從知識角度看：正弦定理、余弦定理；

(2)從思想方法角度講：通過正、余弦定理來處理三角形中的角的關系式、邊的關系式、三角函數的關系式，充分體現化歸的思想方法；

(3)在研究問題上，解題后學會反思問題，學會拓展問題，學會變更問題，從而提高課堂的效率和解題的價值．

二、教學感悟

習題課是數學教學的一類重要課型，怎樣才能上好數學習題課？從解題的角度講，我們希望用幾個簡單而典型的題目來解決較多的問題，更愿意看到學生經歷一個由被動參與到主動探索的過程，培養學生思維能力．如何達成這些目標？以下從“三度”的角度來表述．

1.反思問題，增加知識的厚度

學生僅會解題，而題目是解不完的．因此我們增加了問題反思這樣的教學環節，可以尋求一類問題的規律，更重要的是讓學生從直觀、感性逐步走向理性．首先，對知識和方法的反思．學生知道已知兩角一邊用正弦定理，已知三邊用余弦定理，然而他們心中還是存有疑慮，為什么要這樣呢？我們通過列方程或方程組回答了這個問題，在解除學生疑慮的同時體現了列方程的思想方法．其次，在解三角形中對解的個數的質疑．通過定量分析，由正弦定理、余弦定理的計算可知；再通過定性分析，由初中的三角形全等判定定理知，邊邊角無法判定兩個三角形全等，說明已知兩邊一對角無法確定這個三角形，既增加了知識的可信度又增加了知識的厚度．最后，既然已知兩邊一對角無法確定這個三角形，那么它的解的情況會怎樣？這是必然要回答的問題．所以在學生原有知識的基礎上，對已知兩邊一對角有兩解的條件進行了語言概括，讓所學知識有一個螺旋上升的過程．這樣的經驗積累，既有學習方法上的積累又有知識的理解，更有利于學生對知識的靈活運用．

2.拓展問題，擴大思維的寬度

解題不是目的，是認識問題、擴展問題的開始．通過解答簡單的題2，開始尋找可以求解的其它問題，將問題逐步向前推進，這樣的探求過程演繹了問題的來龍去脈，以及各種不同的發展走向，問題由簡單逐漸變為復雜，知識的運用也越來越靈活，開闊了學生的視野，打開了學生的思路．其次，如果說讓學生反思可以缺少一點主動的話，那么拓展問題需要學生積極思考和主動參與，在相互交流和碰撞中，激發學生的主體意識，展示學生的聰明才智，讓學生發現更多的問題，解決更多的問題，這樣的一題多問是用學生的發現替代教師的提問，最大限度地擴展學生的思維，讓學生從被動的解題者變為主動的出題人．最后，我們不能為了變化而變化，而要回歸到某一個問題上來，在解決例2的過程中概括一般規律，總結思想方法，讓學生真正體會到：“萬變不離其宗”的道理．

3.改編問題，延伸課堂教學的長度

數學習題課關鍵在于調動學生的學習積極性，讓學生由被動跟隨轉變為主動參與，再由主動參與變化為自主探索，這種探索不僅限于課內，還能延伸到課外，沒有學生的興趣和熱愛是做不到的．只有這樣才能增加知識的厚度，拓展思維的寬度并延伸課堂教學的長度．