例析多元函數最值問題的求解策略

河南大學數學與統計學院 (475001)

盧 陽

一、不等式法

在最值問題中常用均值不等式、柯西不等式、絕對值不等式.運用不等式求最值時最大的難點在于如何“拆”、“拼”、“湊”，常見的有湊項數和湊系數，進而找到定值.

1.均值不等式

分析：此題無法直接運用不等式，觀察到a2-10ac+25c2=(a-5c)2并且發現a2-ab=a(a-b)，故需要“拼湊”出-ab來.

2.柯西不等式

例2 (2013年湖南卷理科第10題)設a,b,c∈R,a+2b+3c=6,求a2+4b2+9c2的最小值.

分析：注意到a2+4b2+9c2=a2+(2b)2+(3c)2，這是柯西不等式右邊一組數的平方和.因此，需要配湊出另一組平方和.

3.絕對值不等式

分析：該題若直接對絕對值中的二次函數進行討論會比較繁瑣，這里提供利用絕對值不等式的簡便解法.

-3.

評注：運用不等式求多元函數最值時一定要先觀察式子結構，選擇恰當的不等式，再合理配湊找到定值，基本不等式找“積”、“和”為定值，柯西不等式找“方和積”、“積和方”為定值，絕對值不等式找“和”、“差”為定值，同時必須注意等號滿足的條件.

二、消元法

若函數各元之間存在相依關系，可將各元用其中一個元來表示，便可化為常見的一元函數，再根據函數結構采用相應的最值求解方法.

例4 已知x,y，z∈R，且x+y+z=1,x2+y2+z2=3，求xyz的最大值.

分析：有關于x,y，z的兩個等式，理論上可以找到x,y，z三者的關系，將三元函數變成一元函數.

變式(2017全國高中競賽一試)已知實數x,y滿足x2+2cosy=1，求x-cosy的范圍.

評注：運用消元法求最值時需要根據題目條件和各元之間的關系求出最后所剩元的取值范圍.

三、換元法

換元法是指通過引入一個或幾個新的變量，來替換原來某些變量(代數式)，以便讓問題得以解決的方法.常見的換元方法有代數換元、三角換元.

1.代數換元

分析：首先，觀察式子結構，發現上式為齊次式，并且為對稱式.式子的分子分母同除以x，便可以使用比值換元法.

評注：在第一次換元后，也可用求導法求得最值.

評注：比(倍)值換元在對稱的齊次式中經常使用，但需注意對稱式并非一定在各元相等時取最值，一定要耐心計算，切不可一心走捷徑.特別提一下，近來年很火的極值點偏移問題，大都可以用比值代換的方式解決.

例6 (差值換元)已知實數x,y滿足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值.

分析：令x+y=t,代入x2+y2+xy=1，便可將y消去，變成x的一元二次方程.

2.三角換元

通過三角換元將多元函數變成三角函數，而三角函數的最值利用輔助角公式易求.掌握如下三角函數的恒等式是有必要的，如sin2α+cos2α=1，sec2α-tan2α=1，tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ(α+β+γ=nπ(n∈Z)).

對于例6，還可以用三角換元解決.

評注：在求解與圓錐曲線有關的最值問題時，利用三角換元往往可以降低難度.

變式(2018陜西預賽)設x,y∈R,且log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,求x-|y|的最小值.

四、線性規劃法

在求解最值問題時，如果條件與最值問題有對應的幾何意義，便可利用數形結合思想，采用線性規劃進行解決.

圖1

五、向量法

有些多元函數問題可以構造向量，將原來的問題變成向量問題，再利用向量的運算來簡化問題.

對于例7的變式，已知x2+y2=4，求S=x+y+2最值還可以利用向量法將x+y看成兩個向量的內積.

例8 已知a,b均為正數，且ab=a+b，求a+b的最小值.

以上本著簡潔、夠用、減負的原則只介紹五種方法，但多元函數問題解法并非僅限于此.解決多元函數問題時不應局限于某一種做法，有時需多種方法交互，多樣思維融合，這需要讀者因題而異，仔細觀察多元函數的結構和題目條件找到最優解法.