一道競賽題的解法分析與拓展探究

江蘇省海門市能仁中學 (226100)

朱冬怡

2017年上海市初三數學競賽第三題題目如下：

圖1

如圖1，在平面直角坐標系xoy中，直角三角形ABC的直角邊AC=5,BC=4.銳角頂點A、B依次在x軸正半軸，y軸的正半軸上移動，則直角頂點C的軌跡的長度為 .

本題以幾何圖形的運動為載體，條件清晰明了，但由于軌跡不明，思考時需要運用動態思維、數形結合、邏輯推理與合情推理相結合的思想方法，具有很強探究價值.為此筆者從解法探究與結論推廣兩個角度對這個問題作了一定研究，現在將所得整理出來，與讀者朋友分享.

1.解法分析

1.1 首先求出點C(x,y)的軌跡是什么圖形

圖2

圖3

設M(x0,y0)，則點

1.2 點C的軌跡長度為幾何

C軌跡正好與四邊形ACBO對角線CO所在直線重合，現在需要確定的是對角線CO長度的范圍.如何確定？

圖4

思路3 (四點共圓)設OA=x(x≥0)，OB=y(y≥0)，OC=a(a>0)，由圓的內接四邊形托勒密定理，

進一步的思考：更多點的軌跡問題.

2.問題拓展

在本題中，定長線段AB運動是旋轉與平移兩種運動的復合，運動過程中運動對象形狀大小均保持不變，通過本題可以發現，運動圖像中的點運動軌跡可能是線段，也可能是一段圓弧，那么其它點的運動軌跡又如何呢？