淺談空間向量在立體幾何中的應用

摘要：本文主要討論如何利用空間向量的知識考查高中階段立體幾何問題。旨在進一步深入了解空間向量中的應用，拓展解決幾何問題的技巧與方法，從而提高解決高中立體幾何問題的能力，提升數學思維能力，進而在高考中取得更優異的成績。并為今后學好高等代數與解析幾何打下良好堅實的基礎。

關鍵詞：空間向量 高中立體幾何 應用

在大部分的高中幾何問題中，不管是平面幾何還是立體幾何，作為高中的常用幾何問題，一般的解題技巧和解題方式都是用傳統的歐幾里得幾何的解決方式，很少會用到空間向量的知識去考查幾何問題。究其原因，主要是對于使用傳統歐幾里得方式去解決幾何問題時，無論是直觀上的解題，還是問題的思考和理解上，都顯得淺顯易懂。然而易于理解的方式，并不代表是最好的解題方式，這樣的思考方式往往伴隨著大量而復雜的計算過程，俗話說的好，對于問題思考得愈多，計算的過程相對就會少一些，反之，思考的越少，那么計算過程就會更復雜一些。空間向量作為高等代數與解析幾何兩門數學學科交叉結合的知識紐帶，可以說是高等代數重不可或缺的，是高等數學研究的基礎知識，為使用代數方法來研究立體幾何提供了簡便高效的途徑，所以本文主要討論空間向量在解決高中立體幾何中的應用，主要目的在于提高數學思維，提升數學成績，為今后數學學習打下良好的基礎。

一、考查空間幾何問題時的空間向量定義方法

在高中階段的教程中，向量的基本定義是把既有大小、又有方向的量叫做向量，基本概念等同于高中物理學中的矢量，舉一個簡單的例子，物理學中力的表示方式就可以稱作矢量，也就等同于數學中所說的向量，這樣理解更直觀，因為經典力學中的力既有大小又有方向，滿足向量具有二元性的基本定義。作為單純的代數知識，向量用何種方式來表示都不影響它的代數性質和代數作用，但是如果想用向量知識去考查幾何問題，特別是立體幾何問題，最好的表示方法應該是在費馬和笛卡爾坐標系下定義向量，這樣一來，無論是向量的代數性質還是幾何的立體感官都不會受到太大的影響，從而使得考查的幾何問題直觀性不存在差異的變化。淺顯易懂的說法就是用坐標系來表示向量。在高中數學教程中關于幾何問題一般都是二維或者是三維的，即平面幾何或是立體幾何。所以在本文中為了討論的方便，我們建立的坐標系為三維右手直角坐標系（圖1）。

從人民教育出版社的高中教材中可以得知，給定平面上兩個不共線（即線性無關）的向量a和b，則該平面中任意的第三個向量c都可以由向量a和向量b表示出來。那么，同樣的道理可以得出，在我們建立的坐標系為三維右手直角坐標系中，給定空間中三個不共面的向量，則對于空間內的任意向量必可以由這三個向量表示出來。所以說只要在三維右手直角坐標系中確定三個不共面（即線性無關）的基向量，那么該空間內的任意向量都有其表示方法。也就是說，空間中的向量可以有空間坐標進行表示。利用數學語言進行表述：在空間中任意取線性無關的三個向量a，b，c作為該坐標系的基向量，在該坐標系中任意取向量r，那么r一定會被表示為r=xa+yb+zc（其中x，y，z為唯一確定的實數）。

二、如何使用空間向量知識考查解決空間幾何問題

空間向量的坐標表示方式已經給出，那么我們如何運用它的相關知識對空間幾何進行考查呢。下面舉具體例子說明，如何使用空間向量來解決幾何問題，以便對相關知識進行進一步了解。

若想利用空間向量考查立體幾何問題，首先要構造三維的坐標系，利用坐標系對向量進行表示，然后將立體幾何圖形放入坐標系中進行考量，從而解決立體幾何所提出的問題。舉例闡述空間向量在考查幾何問題中的應用。

例題1：在同一個三維例題坐標系下，考查兩個直線是否垂直。

利用空間向量知識我們可以知道該直線的兩個空間的乘積等于0（即a*b=||a|b|cos=0），那么如果用直角坐標系表示空間向量的話，a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），則乘積不用考慮兩直線或者說是兩個向量之間的夾角問題，只考慮乘積即可，即a*b=a1b1+a2b2+a3b3=0，說明向量垂直，從而說明兩條直線相互垂直。這個例題說明，利用空間向量來考慮幾何位置關系的問題，通常會省去畫圖或者是做輔助線的步驟，可將復雜圖形的幾何問題轉變為簡單的代數計算問題。從而簡化考查幾何問題的過程。空間向量不僅可以考查兩條直線是否垂直，也可以考查兩條直線是否平行，或者相交，或者異面問題。

例題2：在同一直角坐標系下考查某一條直線是否在一個特定的面內。

這里先闡述普通的歐幾里得幾何關于該問題的解題方法，首先，在特定面內取兩條相交的直線，然后看給定的直線是否與兩條直線同時相交于兩個不同的點，切相交點在特定面內，從而命題得證。這里對證明過程不做過多的闡述。

如果利用空間向量知識來考查該問題，首先確定給定直線的方向向量a（a1，a2，a3），然后在特定面上取兩個相交的向量b（b1，b2，b3），c（c1，c2，c3），那么根據教材上的定理可以得到，若a（a1，a2，a3），可以由向量b（b1，b2，b3），c（c1，c2，c3），表示，那么即說明向量a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），c（c1，c2，c3），線性相關，也就是說，向量a在特定的平面上，即給定直線在該平面上。若轉化為代數即是方程組a1x1+a2x2+a3x3=0；b1x1+b2x2+b3x3=0；c1x1+c2x2+c3x3=0，存在非0解，原題目得以證明。

三、結語

可以看出考查解決問題的原理是一樣的，但是運用的方式方法不同，解決問題的過程就不同，運用空間向量知識解決問題時運算過程相對簡單，思考過程也相對明晰。可以說這就是向量在解決幾何問題中的優勢，它把立體幾何問題完全可以轉化數學代數問題，然后通過計算得以解決。

參考文獻：

[1]陳志杰 主編.《高等代數與解析幾何（上）》[M].高等教育出版社，2000.

[2]陳志杰 主編.《高等代數與解析幾何（下）》[M].高等教育出版社，2000.

[3]中學數學教材實驗研究組 編著. 《數學（選修2-1）》[M].人民教育出版社，2007.

（作者簡介：陳垣希，浙江省平陽中學，高中學歷，研究方向：數學方向。）