淺談如何利用幾何圖形輔助解決古典概率中的相關問題

摘要：本文主要討論利用幾何圖形作為輔助工具來解決古典概率中所涉及的問題，幾何圖形作為解決概率問題行之有效的手段之一，它可以將抽象的古典概率問題轉變為更加具體化的初等幾何圖形問題，使用幾何圖形來考慮和解決古典概率問題，可以使得問題更加直觀化并且便于理解和考查，從而大大提高古典概率問題的解題效率，并對培養數學思維的成長大有幫助。

關鍵詞：幾何圖形 概率 應用

數學作為一門應用性較強的科學，無論是運算方式還是邏輯思維都是連續統一和嚴謹完整的，雖然近現代數學有許多分支學科，但是并不是說每一門學科都是獨立存在的，它們之間存在著千絲萬縷的聯系。通常在考查和研究其中一門分支學科時，往往要運用其他幾門學科甚至是更多的學科知識來相互配合。舉例說明，空間向量既是屬于代數知識又是屬于幾何知識，作為線性代數與解析幾何之間相關聯的紐帶變量，通常考查幾何問題的時候，可以通過空間向量的變換，將幾何問題轉換為代數問題，從而更容易計算和解決幾何問題。所以說通過某一些變換的過程，將代數問題通過變換，用幾何學的相關知識去解答；原本是幾何問題也可以通關轉化，利用代數的運算過程去解決；原本是概率和數理統計的問題，通常也可以轉化成線性代數或者幾何知識去解決。本文主要討論如何運用幾何圖形對概率問題進行考量，深入了解轉變轉化的知識和精髓，從而提升解決古典概率問題的效率。

一、利用幾何圖形解決古典概率問題的基本思想及原理

解決任何數學問題的時候都可以利用替換或者是變化的手段去解決。就像解決立體幾何問題一樣，往往可以通過空間向量作為聯系紐帶將空間幾何的問題轉化為線性代數的問題。所以說概率論的問題在某種特定的情況下也可以通過對測度的變化，把經典概率問題轉變為幾何圖形的問題，從而通過幾何圖形中線段的長度、區域的面積等計量單位對已知的問題進行測算，并最終得出結果[1]。所以說，利用幾何圖形作為輔助手段對古典概率問題進行考查研究，究其基本思想和基本原理，就是在幾何圖形中選取最符合概率原題的一組或幾組圖形，把原有的概率測度，轉化為計量幾何圖形長度面積或者體積的計算問題，最終解決概率問題，運用的手段與方法，可以類比為等量代換原理。其基本思想是：如果一個隨機現象的樣本空間Ω充滿某個區域，其度量（其中包括長度、面積或者體積等等）大小可以由S（Ω）表示；并且任意一點落在度量相同的子區域內是等可能的，例如：在樣本空間Ω中有一單位正方形A和兩條直角邊長分別為1和2的三角形B，而點落在A和B的區域內是等可能的，因為A和B兩個區域的面積相等均為單位1；以事件A為例子，若事件A為Ω中的某個子區域，且其度量大小可由S（a），則有P（A）=S（a）/S（Ω） 。

這種概率被稱為幾何概率，它滿足概率的公理化定義。

二、利用幾何圖形解決古典概率問題的幾個簡單例子

例題一：在區間[0，1]中任意取兩點，求取發生兩點的平方和小于1的概率？

解題思路：考慮任取兩點分別為x，y，那么根據題目的意圖可以得知，樣本空間Ω={（x，y）|0≤x，y≤1}，假設A為平方和小于1的樣本點集合，那么A={（x，y）|x2+y2<1}。

根據題目給出的條件可以得到以下圖形（圖形1）。

根據題意，正方形的整個面積可以代表樣本空間Ω，并且可以得到整個正方形的面積為1，四分之一園可以表示A的樣本點集合，并且可以求得半圓的面積為π/4，所以可以得出在區間[0，1]中任意取兩點，求它們的平方和小于1的概率π/4.原題目通過幾何圖形輔助被解出。

例題二：甲、乙兩人約定某天在1：00到2：00點獨立地隨機到達某地會面，先到達者等候20分鐘后離去，求這兩人能夠相遇的概率？

解題思路：考慮甲、乙兩人在這一個小時之內的任何時間點都可能到達會面地點，用x，y分別表達甲、乙到達的時間，則樣本空間應該表示為Ω={（x，y）|0≤x，y≤60}，那么根據題意，樣本點（x，y）等可能的落在樣本空間Ω中，那么用A表示甲、乙兩人相遇，則A={（x，y）|-20≤（x-y）≤20，（x，y）∈Ω}，那么可以做出如下的幾何圖形（圖形2）。

其中實心黑色區域為樣本空間A，正方形為樣本空間Ω，根據題意可以知道，正方形面積邊長為60，整個正方形的面積為3600，實心黑色區域面積為2000，那么發生該事件的概率可以確定為P（A）=2000/3600=5/9，即可得知，甲、乙兩人能夠相遇的概率為5/9.

三、結語

古典概率的幾何圖形輔助解題方式，應該說最早的雛形是維恩圖（圖形3）

最初維恩圖是用來直觀理解集合概念的，概率論又是以集合為最基本的測度單位的，所以維恩圖也常常被用作講解和闡述概率論與數理統計相關知識的輔助工具，后來經過不斷的研究和發展，對維恩圖形不斷的加以變換和延伸，并且不斷地完善證明和推理過程，逐步的建立起了用幾何圖形解決概率問題的完備體系。然而并不是所有的古典概率問題都可以使用幾何圖形輔助解決的，運用幾何輔助圖形解決的古典概率問題需要滿足一定的先決性條件，既要滿足幾何度量和概率樣本空間度量的轉換，方可使用幾何圖形進行輔助性的解題，而且在解題過程中還要遵循具體問題具體分析的解決方法。

參考文獻：

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社，2005.

（作者簡介：余葛薇，新疆師范大學附屬中學，高中學歷，研究方向：數學。）