互逆運算引出新知，數學史話融入學程
——以“數的開方（第1課時）”教學為例

☉江蘇省江陰市華士實驗中學張威

目前初中階段對有理數和實數都是分在不同學期進行學習，有些教材上引入數的開方、算術平方根時往往從一個生活問題出發，這些教學安排或情境引入當然有一定的道理.教無定法，若從數學知識的邏輯連續、前后一致的角度來審視“數的開方”的教學引入與起始課研發呢？筆者近期有了一次實踐的機會，本文就整理該課的教學流程，并給出教學立意的解釋，供分享和研討.

一、“數的開方（第1課時）”教學流程

教學環節（一）從數及其運算說起

問題1：數，有理數，還有π，它不是有理數，是什么數呢？（如果有學生預習過能說出無理數，記得板書在黑板副板區）

問題2：有理數學習了哪些相關概念和哪幾種運算？（學生能答出數軸、相反數、絕對值、倒數等，有理數的運算有加法、減法、乘法、除法、乘方，教師選擇一些進行板書）

問題3：舉幾個簡單乘方運算的例子.（學生舉出22=4，33=27，（-3）2=9等，可收集一部分板書在黑板上）

問題4：我們知道，加和減、乘和除都是互逆運算，它們的結果分別稱和、差、積、商.乘方的結果稱冪.現在逆過來研究乘方與冪，若已知冪、指數，求底數怎么算？（預設：學生求x2=4時，可能會漏掉-2.啟發大家再次分析x2=9時，要考慮兩解）

問題5：上面已知冪和指數，求底數的運算，就是乘方運算的逆運算，也就是第六種運算：開方運算.這么簡單，為什么有理數那章沒有順便學習？

教學環節（二）研究數的開方

問題6：研究開方運算.

從最簡單的開平方運算開始.

給出定義：上面已知道了4開平方得到2、-2；9開平方得到3、-3.我們把開平方得到的結果稱為平方根.

跟進訓練：9的平方根如何表示？3的平方根如何表示？5的平方根如何表示？

小結歸納：一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根為0；負數沒有平方根.特別的，對于正數a的平方根中那個正的平方根，我們稱之為a的算術平方根.

過渡：開平方也稱開二次方，現在讓我們拾級而上，研究開三次方，即開立方.

自主研究：將8開立方的結果是？你覺得開立方的結果取個什么名字？你能想到用怎樣的符號表示它們嗎？（對于數x來說，它的立方根記為）舉幾個例子來鞏固理解一個數的立方根.

小結歸納：一個數的立方根有且只有一個.正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數.

教學環節（三）“數系”再次擴充

回顧：進入初中，引入負數之后，小學階段的數系相應地擴充為有理數，我們也知道了整數與分數統稱為有理數，也稱可比數（m、n為整數，n≠0）.

數學史話鏈接：據傳畢達哥拉斯學派的一個“門徒”希帕索斯率先發現了不是有理數，

圖1

如圖1，將兩個邊長為1的正方形分別沿它的對角線剪開，得到四個等腰直角三角形，即可拼成一個大正方形.容易知道，這個大正方形的面積是2，那么大正方形的邊長為多少呢？

建立模型：待求的大正方形的面積為2，設它的邊長為a，則有a2=2.也就是要把平方運算逆過來思考，即在冪的運算式子“an”中已知指數和冪，逆過來求底數的值.問題簡化如下：

若a2=2，求a=_____（.答案為，負的平方根舍去）

因為這個“邪惡”的發現，不符合學派教義“萬物皆備于數”，他被扔進了大海，也引發了“第一次數學危機”.隨著數系擴充，從有理數系再次擴充到實數（有理數和無理數統稱為實數），第一次數學危機就得到了解釋.

研究展望：數系擴充之后，就需要進一步研究新數系的相關概念，如數軸、相反數、絕對值、大小比較，以及實數的運算，這些都將是后續學習的內容.

教學環節（四）回到“開平方”

應用1：解簡單的一元二次方程.

解方程：（1）x2=16；（2）x2-25=0；（3）4x2=9.

圖2

圖3

你能理解這種畫法嗎？能找到表示- 2 的點嗎？

同類推介：如圖3，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達O′點，那么O′點對應的數為π.

最后進行適當的小結，完善本節課結構化板書：

圖4

二、教學立意的進一步闡釋

1.教無定法，重視基于數學知識內在聯系的角度引入新課

數學是科學，教學是藝術.教無定法，適合的就是好的.教材上引入平方根、數的開方自有其道理和依據，但是我們在上文中基于數學知識的內在聯系，構思了從乘方的逆運算思考，定義并引出實數系及與之相關的數學新知，如平方根、無理數，特別是數系擴充到實數系之后，對于實數的相關概念、數軸、相反數等也帶領學生進行了眺望和初步感知.從這個角度看，這種新知引入方式是符合教學實際的情境創設.

2.對話互動，通過系列問題串起教學進程并促進課堂生成

在上面課例中，通過一系列的問題串起了教學環節，同時啟發學生思考，把學生的思維“卷入”到本課內容中來，學生積極思考，踴躍展示，得到了很多生成性資源，教師及時捕捉這些生成性資源并用于推進后續教學進程，生成、完善板書設計.讓學生“不知不覺”感受到這節課的新知都是在他們參與下獲得并豐富起來的，除了學得新知，探究數學的求知欲和自信心都能得到有效提升.

3.滲透文化，精心預設融入“數學史”激發學生參與的熱情

數學是一種文化，幾千年來與人類文明相伴始終.數學發展史也表明，像無理數這樣的數學史話，特別是引發了“第一次數學危機”這樣的重要內容，初中生在首次接觸時，如果進行必要的“融入式”學習，則對于數學素養較好的學生來說，應該是一種精神的洗禮.所以，我們把畢達哥拉斯學派，特別是其門徒希帕索斯發現無理數的故事融入了新課教學進程，并運用后來歐氏幾何原本中的證法向學生進行演示推介，對優秀學生來說，雖然這些都不是為了“眼前利益”而服務，但是為他們打開的這扇窗，對滲透數學文化、熏陶數學精神是十分有益的.