揭示形成過程，建構探究思路，完善知識體系*
——以“三角形的外角”的教學為例

☉江蘇省南京市第三十九中學夏鳴

在一次校際教研活動中，筆者開設了人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“三角形的外角”公開課.本節課的重點是探索三角形內角和定理的一個推論，即三角形外角定理.本文展示該課的教學分析、教學設計及教學反思，與更多同行研討.

一、課前的教學分析

三角形的外角是指三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，其實質是三角形內角的鄰補角，外角可以看作由內角而“生”，兩者之間有密切的聯系.因此，在概念教學中，我們可以從三角形的內角出發，將其一邊延長，觀察新得到的角與內角的區別與聯系，再歸納形成外角的概念.這種設計的優點在于簡潔明了，直奔主題，但缺乏對“為什么要‘延長’”“怎么想到要‘延長’”等問題的思考，沒有將外角的概念置于知識體系中進行研究.筆者認為，在學習本節課之前，學生已經認識了對頂角、鄰補角、三線八角等，這些角的學習都是在相交線與平行線的知識體系下進行的，并且三角形的外角與這些角也都存在聯系.因此，我們可以將三角形的外角也置于相交線與平行線的體系下設計數學活動，由1條直線（平角）到2條相交線（對頂角、鄰補角），再到3條直線（三線八角、三角形的外角），逐步構畫出一個三角形的所有外角，并通過比較三角形同一個頂點處三種角的兩邊的位置屬性，引導學生形成三角形的外角的概念.

三角形外角定理研究的是三角形的一個外角與與其不相鄰的兩個內角之間的數量關系.研究的設計思路通常是從特殊到一般，定理的發現過程是以計算一個外角和與其不相鄰兩個內角的度數為起點，根據計算結果猜想和發現定理為終點.但在這個過程中，學生的實質性思考并不充分，學生很難想到研究這些角的緣由，只是被設計活動牽引著探究，這樣的學習是被動的，是孤立的.學習該定理之前，學生已經知道三角形的一個外角與其相鄰內角的數量關系，這可由外角的概念得到，而概念應該是整個探究的“基石”，所以我們應該以此為研究的起點，引導學生通過改變內角、外角的位置，增加內角、外角的個數來提出新問題，發現新結論.另外，我們要充分利用學生所提出的問題，將課堂中學生的生成作為一種重要的教學資源，引導學生分析所提問題的研究價值，從中甄選出一個結論作為定理，幫助學生建構探究思路的同時，完善知識體系，既見“樹木”，又見“森林”.

根據上述教學分析，結合學生已有的認知結構和心理特征，本節課教學要達成下列兩個目標：一是學生通過對與三角形有關的角的構圖、比較、分析，抽象概括出三角形的外角的位置特征，形成概念；二是學生能從外角概念出發，通過改變內、外角的位置，增加內、外角的個數提出新問題，發現新結論，在此過程中，發現并掌握三角形外角定理.其教學重點在于引導學生在與三角形有關角的知識體系下掌握三角形外角定理.

二、課中的教學設計

活動1：構圖生長，形成概念

圖1

（1）如圖1①，圖中有角嗎？

師生活動：教師畫出1條直線，引導學生識別圖中的平角.

（2）請在圖1①中再畫一條直線，使其出現更多的角.這些角有什么關系？

師生活動：引導學生在圖中再添加1條直線（如圖1②），識別圖中的對頂角、鄰補角.

（3）請在圖1②中再畫一條直線，使其出現更多的角.這些角有什么關系？

師生活動：學生可能畫出三種圖形（如圖1③～⑤）.教師引導學生識別圖中已學的角，分析這些角之間的關系.

教師追問：如圖1⑤，三角形同一頂點處的角有哪些？請將這些角進行分類.

師生活動：對圖1⑤中同一頂點處的4個角進行分類.學生可以根據角之間的數量關系分成兩類，第一類是三角形的內角與其對頂角，第二類是三角形內角的鄰補角；也可以根據組成角的兩邊的位置屬性分成三類：第一類是三角形相鄰兩邊組成的角即內角，第二類是三角形相鄰兩邊反向延長線組成的角即內角的對頂角，第三類是三角形一邊與另一邊的反向延長線組成的角即外角.教師在上述分類的過程中，幫助學生理清各角的關系，形成外角的概念.

設計意圖：引導學生逐步添畫直線，形成熟悉的基本圖形，自然畫出三角形的外角.在三角形的外角構圖生長中，比較圖1⑤中同一頂點處的4個角的不同，關注三角形同一頂點處內、外角之間的關系，認識三角形的外角兩邊的位置特征，形成外角的概念.同時，為后續學習三角形外角定理做好鋪墊.

活動2：發現問題，建構思路

（1）如圖2，請畫出△ABC的一個外角.

師生活動：學生根據外角的定義解答，畫出△ABC的一個外角∠ACD（如圖3）.

圖2

圖3

教師追問：由三角形的外角的概念，你能獲得什么結論？

師生活動：引導學生答出外角∠ACD與內角∠ACB互補.

（2）研究完外角∠ACD與內角∠ACB的關系后，你認為還可以研究什么問

圖4

師生活動：學生可能回答要研究頂點為A或B的內、外角關系，教師根據學生的回答畫出圖4.

教師追問（1）：剛才大家提到的外角∠ACD與內角∠ACB，外角∠BAE與內角∠BAC，外角∠CBF與內角∠ABC，每組內、外角有何共同特征？

師生活動：引導學生說明它們都是具有公共頂點的1個外角和1個內角.

教師追問（2）：你能改變這些特征提出新問題嗎？

師生活動：引導學生改變上述問題中研究對象的基本屬性（位置、個數等）提出問題.學生可能提出“1個外角1個內角（不相鄰）、1個外角2個內角（相鄰或不相鄰）、1個外角3個內角、2個外角1個內角（相鄰或不相鄰）、2個外角2個內角（相鄰或不相鄰）、2個外角3個內角、3個外角3個內角之間有何數量關系”等新問題，并將其整理羅列出來（詳見活動3）.

設計意圖：通過畫圖、識圖，鞏固三角形的外角概念的內涵與外延.同時，啟發學生發現還可以研究不同頂點處內、外角的關系，并根據內、外角的個數，提出新問題.這樣的設計，不局限于對問題本身的解決，更提倡學生大膽發現問題、提出問題，建構與三角形有關的角的探究思路.需要說明的是，課堂教學中不強求學生提出所有情況下的問題，能提出利于發現定理的若干問題即可.

活動3：甄選定理，完善體系

（1）如圖4，探究上述三角形的內、外角的數量關系：

①∠ACD與∠BAC；

②∠ACD與∠ACB、∠BAC；

③∠ACD與∠BAC、∠ABC；

④∠ACD與∠ACB、∠BAC、∠ABC；

⑤∠ACD、∠CBF與∠ACB；

⑥∠ACD、∠CBF與∠BAC；

⑦∠ACD、∠CBF與∠ACB、∠ABC；

⑧∠ACD、∠CBF與∠BAC、∠ABC；

⑨∠ACD、∠CBF與∠ACB、∠BAC、∠ABC；

⑩∠ACD、∠CBF、∠BAE與∠ACB、∠BAC、∠ABC；

……

師生活動：引導學生逐步完成上述問題的探究.探究中，學生會發現問題③的結論是∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，問題⑥的結論是∠ACD＋∠CBF＝∠BAC＋180°，問題⑦⑩的結論是∠ACD＋∠ACB＝∠CBF＋∠ABC＝∠BAE＋∠BAC＝180°，問題①②⑤沒有明確結論，問題④⑧⑨可以轉化為問題③或問題⑥解決.

如果學生有困難，教師可設計以下活動（以問題③為例）幫助學生探究.

（2）在問題③④⑥⑦⑧⑨⑩的結論中，你會選擇哪一個作為定理？為什么？

師生活動：引導學生從“必要”和“簡潔”兩個方面進行思考，選擇問題③的結論作為定理.

教師追問（1）：請用文字語言表達出問題③中的結論.

師生活動：學生用準確、簡練的文字語言概括問題③中的結論，得到三角形外角定理.

教師追問（2）：根據定理的條件和結論，畫出圖形，并用符號語言表達.

師生活動：學生在分析完定理的條件和結論后，學習定理的圖形語言、符號語言.

設計意圖：對于上述十個問題的探究，根據學生的情況，可以要求學生直接說出答案，并推理證明，也可以設置從特殊到一般的數學活動幫助學生發現結論，再利用之前所學的結論進行分析推理.然后，引導學生在所提十個問題的結論中，甄選出他們心目中的定理，體會定理的簡潔性和必要性，滲透公理化體系，將定理的探索設置于整個知識體系當中，完善與三角形有關的角的知識體系.

圖5

活動4：鞏固新知，深化理解

例如圖5，已知△ABC，點D在邊AB上，點E在邊AC的延長線上，DE交BC于F，∠A＝27°，∠BCE ＝92°，∠BDE ＝44°，求∠BFE的度數.

師生活動：（1）教師引導學生在圖中標注條件，分析∠BFE可看作哪些三角形的外角.（2）教師引導學生分析解題思路：思路1：要求∠BFE的度數，根據三角形外角定理，結合條件∠BDE的度數，只要求∠B的度數，由于∠A、∠BCE的度數已知，根據三角形外角定理，容易得出∠B＝65°；思路2：與思路1類似，解題關鍵是由∠A、∠BDE的度數求∠E.（3）學生獨立完成解題過程，一名學生板書.（4）師生共同分析板書學生的解題過程.（5）教師引導學生得出基本模型：箭頭型，并推出一般結論：∠BFE＝∠A＋∠B＋∠E.

設計意圖：運用三角形外角定理求相關角的度數，歸納典型的幾何基本模型，促進學生進一步鞏固定理內容的同時，提高學生的數學表達能力和用綜合法解決幾何問題的能力.

活動5：回顧總結，引發思考

教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：

（1）本節課學習了哪些主要內容？

（2）探索三角形的內、外角之間的關系，其基本路徑是什么？

（3）學習完三角形的內、外角之間的關系，你還可以提出哪些值得研究的新問題？

師生活動：（1）教師引導學生回顧本節課所學內容；（2）幫助學生理清探索三角形的內、外角關系的基本路徑；（3）啟發學生思考后續還可以研究四邊形、五邊形等多邊形的內、外角的關系.

設計意圖：通過小結，幫助學生梳理本節課所學內容，掌握本節課的核心——在與三角形有關的角的知識體系中，掌握三角形外角定理，并引發學生思考后續還可以研究的新問題，完善多邊形的內、外角的知識體系.

三、課后的教學反思

1.揭示形成過程，讓數學概念有序生長

數學概念是指人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式.它既是思維邏輯的起點，也是學生學習的基礎.在數學概念的教學中，我們需要分析它的上位概念、本位概念或下位概念，剖析它的地位和作用，在知識體系中形成概念、理解概念.本節課中，筆者將三角形的外角概念納入相交線與平行線的知識體系中設計教學活動，引導學生由平角畫出對頂角、鄰補角，再畫出三線八角、三角形的內角和外角，在觀察、分析、比較中形成外角的概念，讓三角形的外角師出有名，有序成長.這樣的活動設計可以幫助學生經歷概念的生長、形成過程，有利于學生理解數學知識，更有利于學生形成良好的思維習慣、增強數學的應用意識.

2.建構探究思路，讓數學問題自然提出

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，教學中不僅要學生具備分析和解決問題的能力，還應該讓學生具備發現問題和提出問題的能力［1］.怎么啟發學生想到要研究的問題是關鍵點，也是難點.這需要我們先找到問題的生長源，引導學生思考問題中所涉及的數學對象是什么，再啟發學生改變問題中所涉及對象的基本屬性來提出新問題.這個過程既是問題提出的過程，也是對問題探究思路的建構過程.教學中，筆者從外角的概念入手，引導學生想到要研究的問題是內角與外角之間的關系，通過改變問題中內、外角的位置、個數，發現并提出本節課要研究的核心問題.這樣的教學活動是讓學生學會學習，讓學生知道怎么學習，學生在喜歡數學的同時，感受數學的價值，體會數學思維過程的內在美.

3.完善知識體系，讓學生的思維自由發展

數學的教學價值不是讓學生記住別人得到的性質與定理，做別人做過的“好題”與“難題”，而在于讓學生在知道結論的同時，學會理性、學會探究、學會創新，并在此過程中讓思維自由發展［2］.在本節課的知識建構活動中，筆者引導學生經歷對三角形內、外角關系的理性分析過程，讓學生學會發現問題的方法，分析所提問題的研究價值，感悟公理化等重要的數學思想方法.此外，在回顧總結環節，筆者再次啟發學生將現學的知識類比到四邊形、五邊形等多邊形中，引導學生提出更有價值的新問題.這樣的學習，不僅使學生知道定理的來龍去脈，掌握了定理的證明，而且完善了知識體系，發展了數學思維.