從“光行最速”原理到“法尼亞諾”問題
——基于物理問題融入HPM課例實踐與思考

☉江蘇省海安市李堡鎮初級中學儲秀梅

最近一次數學活動課上，我們基于整合不同學科教學內容的想法，從物理學科中光線反射的問題出發，引出幾何中的軸對稱性質的拓展應用，并鏈接數學史的“法尼亞諾”“問題，組織學生理解“數學難題”的證明思路，實踐弗賴登塔爾“有指導的再創造”教學思想，取得了較好的教學效果.本文梳理該課教學活動與設計意圖，并跟進教學立意的闡釋，供研討.

一、教學活動與預設意圖

教學環節（一） 物理光線作圖題

問題1：請利用平面鏡成像的特點作出從光源S發出的一條光線，經平面鏡發射后恰好經過A點的光路圖.

圖1

圖2

預設意圖：這個問題由物理老師提供，物理老師預設的是絕大多數學生很快就能作出圖2，但物理老師也指出，在物理學科不需要學生進行證明，只要會畫圖就行了.所以數學課上，我們就從這個作圖情境出發，先做物理史話的鏈接介紹，讓學生認識費馬光行最速原理.1657年，法國數學家費馬提出著名的光行最速原理：光線所行進的“光程”最短.簡略地說，光行進的時間最短.由于光速不變，即光線由點S經平面鏡反射后到達點A的路程最短.進一步把問題抽象成數學問題，安排學生證明費馬光行最速原理.

數學問題：已知，如圖3，點S、點A在直線MN同側，點C為直線MN上任意一點.

求證：當∠SCM=∠ACN時，SC＋AC最短.

圖3

圖4

預設意圖：引導學生在直線MN上另取一點C′，連接SC′、AC′、A′C′，比較SC′+AC′與SC＋AC的大小，利用對稱性轉化到△A′SC′即可實現證明.

教學環節（二） 兩條“折線段”之和最短問題變式研究

問題2：如圖5，AD是等邊三角形ABC的邊BC上的中線，點M是AD上的動點，E是AC邊上一點，且AE=AC，在AD上找出點M的位置，使EM、CM之和最短.

圖5

圖6

教學預設：這是兩定點到直線上一動點的線段距離和最短問題，引導學生構造出圖6即可成功解決.根據點B、C關于AD對稱，可連接BE交AD于點M，連接CM、EM.此時CM+EM最小.

問題3：如圖7，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°.∠BAC的角平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點.試分析BM＋MN的最小值與邊長AB的大小，并說明理由.

圖7

圖8

教學預設：這屬于“一定點、一動點”到直線上一動點組成的線段距離和最短問題.引導學生構造出圖8，即取點B關于AD的對稱點B′，注意點B′恰落在邊AC上，這樣作B′N⊥AB于點N，交AD于點M.連接BM、MN，此時BM＋MN取得最小值.在直角三角形AB′N中，B′N小于AB′，而AB′=AB，于是BM＋MN的最小值比邊長AB要小.

問題4：如圖9，∠AOB=45°，它的內部有點P，在角的兩邊上有兩點Q、R（均不同于O點），當△PQR的周長取得最小值時，試比較該最小值與OP長的大小關系.

圖9

圖10

教學預設：這是一定點與兩條直線上兩動點組成的三角形周長和最短問題，引導學生構造圖10進行分析，分別取點P關于OA、OB的對稱點P′、P′′，連接P′P′′交OA、OB于點Q、R，則△PQR的周長可轉化為P′P′′的長，接著想清OP=OP′=OP′′，∠P′OP′′=2∠AOB=90°，而P′P′′在△P′OP′′中是斜邊，于是可判斷大小，即△PQR的周長的最小值大于OP的長.

教學環節（三）閱讀理解“法尼亞諾”問題與費耶爾證法

“法尼亞諾”問題：△ABC是銳角三角形，M、N、P分別為邊BC、AB、AC上的點，連接MN、NP、MP.△PMN就是△ABC的內接三角形.M、N、P三點在什么位置時，△MNP的周長最小？

圖11

圖12

教學預設：先介紹數學史上的所謂“法尼亞諾“問題，然后安排學生獨立探究，2分鐘后詢問學生是否沒有進展（估計這道難題學生短時間內不會有所進展）.接著向學生講解這個問題是由意大利數學家法尼亞諾首先提出的.直到二百多年后，匈牙利科學院院士費耶爾還在柏林大學讀書時，受光行最速原理的啟發，運用軸對稱解決了這個問題.費耶爾先構造出圖12這樣的示意圖，具體是，先在邊BC上任取一點M，過點M作直線AB、AC的對稱點M′、M′′，連接AM′、AM′′、M′M′′，M′M′′與AB、AC分別交于N、P兩點，此時△PMN的周長最小.接下來安排學生理解上述證法，并說明理由.

思路預設：根據對稱性，引導學生想清△AM′M′′是等腰三角形，且頂角∠M′AM′′恰為∠BAC的兩倍，是一個確定的角度，則等腰三角形AM′M′′的底邊長就受腰長影響，而腰長AM′=AM，當AM最短時，相應的就有M′M′′最短，△PMN的周長又可轉化為M′M′′的長，于是問題獲得突破.AM為高時，△PMN的周長最小.

成果擴大：課后引導優秀學生繼續鉆研，當AM為高時，有人連接BP、CN，則它們是三角形ABC的另外兩條高！這種發現有道理嗎？

二、教學立意的進一步闡釋

1.重視其他學科現實，適當引入數學課堂開展探究

《義務教育數學課程標準（2011年版）》關于教學問題情境的創設，提出要兼顧生活現實、數學現實及其他學科現實，本文的課例就選自物理學科現實，在與物理老師共同備課期間，得知物理學科并不要求學生證明光線最短問題，只需要學生會畫光路圖，而數學不滿足于此，需要給出證明，所以我們選擇這個情境引入新課，先復習物理上畫圖的簡單內容，然后從數學角度進行闡釋和證明.

2.立足數學學科背景，抽象出數學問題或模型研究

針對當前有些教材、課堂教學過分強調創設情境導入、片面聯系實際等現象，單墫教授曾直言不諱地指出：“數學課要講數學，數學課的主要任務是教數學、學數學，是解決數學問題，而不是解決實際問題.”像上文中的課例中引入的情境雖然是物理學科的一道光線畫圖問題，但是在數學課上我們主要的任務是從中抽象出數學問題或數學模型，并運用軸對稱性質進行解釋和證明.

3.教學進程融入HPM，開展“有指導的再創造”活動

當前以華東師大汪曉勤教授領銜的HPM團隊研發了很多HPM數學課例，對我國HPM課例研究的豐富起到很大推動作用.在這里有必要指出來的是，數學史上很多問題都是具有挑戰性的較難題，這些較難題的解決往往推動了數學的進展.在課堂上選擇這類有挑戰性的數學難題、數學名題時，教師需要提前預設“有指導的再創造”教學活動，而不能任由學生獨立研究.課堂教學時間有限，教師可以通過閱讀理解、關鍵步驟的解讀等方式引導學生參與理解、完善解法.當然，這也是在踐行弗賴登塔爾的“有指導的再創造”教學思想.