“數學現實”引入新知，讓“數學課講數學”
——以“銳角三角函數”概念引入為例

☉江蘇省蘇州工業園區星澄學校焦小金

一、本文緣起

最近在某教學研討QQ群（該群有幾百人，多為全國各地初中數學教師）中有人提問：

話題研討：從梯子的傾斜程度怎樣自然引出正切？大家一般怎樣處理？我想重組教材，但不知道怎么改變.

隨后群里零星有幾個老師發言，多不著邊際，未見說到本質，多屬于“教教材”層次的研討發言，這里不再引述.筆者沒有參與群內發言討論，但感覺這個問題是值得思考的，本著個人教研興趣，查閱不同版本教材，并進行“學材再建構”［1］的情境創設，供研討.

二、不同版本教材是如何引出“銳角三角函數”概念的

筆者查閱了幾種版本教材上關于銳角三角函數的情境創設，概述如下：

蘇科版教材：從體育館設計不同坡度的臺階出發，先讓學生觀察感受哪個臺階更陡，然后利用相似確認了“如果直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值也確定”，然后生成正切的定義，再以大量練習訓練學生會正切值；接下來的一小節繼續以這樣的方式引出正弦、余弦的概念，直到最后才告知學生它們就是銳角三角函數.其對函數的本質揭示不夠.

北師大版教材：與蘇科版教材類似，以一個梯子擺放在墻上的情境引出正切的概念，然后練習訓練，第二小節再引出正弦、余弦的概念，最后“輕描淡寫”地給出：“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數，當銳角A變化時，相應的正弦、余弦、正切也隨之變化.”這段描述甚至都沒有像蘇科版教材指出“隨之唯一確定”，而我們知道“單值對應”是函數概念的本質所在.

人教課標版教材：出示一個生活現實問題，綠化荒山，在山坡上修建一座揚水站，對坡面進行綠化與噴灌，然后出示一個截面為含30°的直角三角形，依據“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”引出“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么無論這個直角三角形大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于”，然后變換不同角度，研究這個比值是否相應的也是一個固定值，最后得出“在Rt△ABC中，當銳角A的度數一定時，無論這個直角三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值”.同樣直到第二節才明確了銳角三角函數概念，對函數的本質也強調不夠.

三、基于數學知識邏輯連貫、前后一致的情境創設

對于函數概念的深刻理解，賀信淳等老師曾指出“一個函數包括兩個方面，一是它應有兩個互相關聯、互相影響的變量，其中率先變化的叫自變量，它在一定范圍內取值；二是它應有一個明確的對應法則，按照這個法則，才能找到與x對應的唯一確定的y的值.在規定的函數的意義中，并沒有強調函數中的變量必須是‘數’，也沒有強調對應法則必須是一個代數式，這就是說，還會有其他形式的函數存在”［2］，并提出“三角函數就是這樣的函數，它的自變量是角的集合，而對應法則是通過敘述一個固定的規則給出的”.基于以上認識，我們本著初、高中數學前后一致、邏輯連貫的思考，構思了如下銳角三角函數的情境創設.

開課情境：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，先畫一個正比例函數y=x的圖像.

圖1

圖2

圖3

問題1：該直線與x軸所成銳角是多少度？

預設：學生很快就答出是45°，教師追問是怎么知道的，學生應該能想到構造等腰直角三角形進行解釋，教師肯定學生的回答.注意讓學生利用圖1，任取兩點A、B說明理由，可以舉特殊數據的例子，重在感受此時直角三角形的邊角關系.

問題2：現在把直線繞原點旋轉一定角度，當直線與x軸所夾銳角恰為30°時，能求出此時直線對應的正比例函數的解析式嗎？

預設講授：上面我們只把目光投向第一象限，在正比例函數圖像上任取一點，向x軸作垂線，主要研究了縱、橫坐標之比值的變化情況.學生通過舉例發現，當直線與x軸所夾銳角的度數確定后，圖像上任意一點的縱、橫坐標之比值也隨之唯一確定.可以發現在這個變化過程中，本質上有兩個變量，“角度”（直線與x軸所夾銳角）在變和“縱、橫坐標之比值”隨之唯一確定，符合八年級函數定義（一個變化，兩種變量，單值對應），可以確定它是某種函數.它不同于我們已學習的一次函數、二次函數或反比例函數，數學上稱它為三角函數.由于初中階段只研究銳角范圍，所以初中階段稱它為銳角三角函數，而且只研究三種銳角三角函數：正弦函數、余弦函數、正切函數.以下介紹相關的定義……（教師借助板書，對照黑板上已有圖形，進行銳角三角函數概念的定義，限于篇幅，本文略去）

設計意圖：與教材上引出三角函數概念相比，我們不跟學生“故弄玄虛、遮掩拖沓”，選擇了開門見山，直接在坐標系中通過師生簡單的舉例互動，定義新函數，這種創意來自高中階段三角函數的引入，因為在高中階段三角函數的自變量的角度可以推廣到任意角度，選擇在坐標系下的數學背景來引入新課，有利于學生高中階段知識的擴充.另外，對于定義教學，關鍵是讓學生感受定義生成的自然而然、和諧一致，然后就是理解定義的本質，并不需要過多進行所謂的探究發現、猜想歸納或驗證確認.

四、關于數學概念引入的進一步思考

1.基于“深刻理解”的高度，大膽開展“學材再建構”

這里所指的“深刻理解”是旅美數學教育學者馬立平博士倡導的基于數學知識的深刻理解（追求知識的寬度、廣度及貫通度），以上文提及的銳角三角函數為例，這個概念在初中階段主要服務于直角三角形的邊角關系，常常被用于幾何問題的簡便計算，然而作為它更本質的函數屬性，在初中階段沒有深入挖掘，但是從深刻理解三角函數的角度來看，我們并不能忽略對學生滲透它的函數屬性，因為隨著多數學生進入高中，將會學習與初中階段“不一樣”的三角函數，如果初中階段完全使用它的邊角關系，而不提及銳角三角函數的一些函數性質，則不利于學生進入高中后的知識自然生長、擴充.基于上述理解，我們選擇了在平面直角坐標系中定義銳角三角函數的情境創設，大膽開展“學材再建構”，教學實踐下來，效果很好，學生完全能理解、接受.

2.重視數學現實的情境創設，踐行“數學課應當講數學”

最近李袆教授在數學通報上對本世紀之初以來的數學課堂新知導入進行了評析（詳見參考文獻［3］），給出商榷建議，數學教育研究者們的良苦用心值得我們傾聽.李教授建議要重視從學科知識角度來思考教學導入的意義和方法，特別是要注意學科內容的本質屬性，淡化導入的外在形式和非認知因素功能，強化知識的意義建構.檢閱相關文獻也發現，單墫教授在《數學課應當講數學》中也批判了有些數學課堂過分強調創設情境導入、片面聯系實際等現象，并教導我們數學課的主要任務是教數學、學數學，是解決數學問題，而不是解決實際問題（詳見參考文獻［4］）.當前有些初中教材在改版、修正之后漸漸恢復了數學新知引入的本來面目，淡化了生活現實的引入，但還有不少章節過分依賴生活現實的方式沒有改進，一定程度上也影響了教師在備課時的價值取向.

五、寫在后面

我們知道，教師是專業技術人員，但是從一些教研現狀來看，很多教師并沒有真正自覺的專業自主性，教學活動時充滿各種“迷信”（如迷信教材、迷信名師、迷信權威，等等），而這種迷信與數學學科所追求的學科精神或數學文化恰恰形成鮮明的反差，確實是值得我們反思的.寫作本文時，筆者深有感觸，如果教師不能深刻理解、體會數學學科精神、數學文化的本質與精髓，不能在自身教育教學實踐中落實、貫徹數學文化，如何能用數學文化來熏陶、感染學生呢？