基于案例分析的初中數(shù)學概念教學模式研究

☉江蘇省南京市浦廠中學陳華

反映數(shù)學對象的本質屬性并概括客觀事物的數(shù)量關系、空間形式及結構關系的理論即為數(shù)學概念，彼此聯(lián)系并因為邏輯關聯(lián)而構成的理論是數(shù)學大廈的基石，一切數(shù)學定理與法則都是在數(shù)學概念的邏輯基礎上得以形成與發(fā)展的.也就是說，數(shù)學定理與法則都是在數(shù)學概念這一支點的作用下發(fā)揮其價值的.由此可見，數(shù)學概念的理解對于數(shù)學知識的掌握、數(shù)學判斷與推理來說是必要的前提.因此，教師應著眼于數(shù)學概念的理解落實教學，以促進學生自主學習能力與解題能力的真正提升，將概念教學作為數(shù)學教學的重中之重，并幫助學生對數(shù)學本質形成獨到而深刻的理解.

概念的表達形式在數(shù)學教學中是可以忽視的，不過，概念實質上的內涵與外延的忽略卻是萬萬不可的.因此，教師在具體教學中，應關注概念的引入、概念的理解、概念的拓展及概念的應用這四個方面.本文結合“二次根式”這一內容對上述四個方面進行具體的思考與闡述.

一、概念的引入

【片段1】

提示問題1：觀察以下式子的特點并進行分組：

生：-3a2b3c、2m+1、x2-3xy+2y2.

師：將這三個式子放在一組有何理由呢？

生：都是整式，-3a2b3c是單項式，2m+1和x2-3xy+2y2是多項式.

師：大家觀察力很強，按照整式、分式與含有二次根號的特點將上述式子分成了三組，不過第三組的名稱我們還不清楚.在以前的學習中，我們遇到過類似問題嗎？

提示問題2：如何用式子將以下問題中所求的量表示出來呢？

（1）正方形的邊長為1，其對角線的長為多少？

（2）圓的面積為S，其半徑為多少？

（3）直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，其斜邊為多少？

（4）一物體從h（m）高的地方落下需要的時間為t（s），且滿足h=5t2，如何用h表示t呢？

學生在獨立思考后給出答案：

師：我們以前學習過數(shù)的算術平方根，數(shù)的算術平方根又如何過渡到式的算術平方根呢？這就是我們今天要學習的內容.

借助數(shù)學問題與實際問題引入二次根式這一概念的方式令學生很快明了了這一概念的重要性與必要性，學生在明確認知任務的同時會產(chǎn)生更加強烈的認知需求.教師對這一概念的逐步引入也令學生對概念的理解更為深入.

二、概念的理解

【片段2】

師：我們今天學習了二次根式，大家結合之前學過的整式、分式來思考一下二次根式最顯著的特點吧.

生：有二次根號.

全體學生哄堂大笑.

師：大家笑什么？

生：這個答案顯而易見，等于沒有回答.

師：尊重他人是我們每個人都必須學會的，同學們，這個同學的回答雖然淺顯，但并不像我們所理解的回答與不回答沒有區(qū)別，當然，如果這個同學能將二次根號的性質或要求表達出來，回答就顯得有深度了.

生：（舉手，表現(xiàn)得很急切）老師，被開方數(shù)不能小于0.

師：為什么？

生：因為負數(shù)沒有平方根.

引導學生在獲得概念之后對其進行去粗存精、由表及里的思維加工，并對概念的內涵進行抽象化與形式化，能使學生廓清概念外延的同時知其所以然并促進對概念的深化理解.

三、概念的拓展

【片段3】

生：有的，運算的順序不同.

生：不過從兩式的運算結果來看兩者沒有區(qū)別，雖然它們的表達形式是不一樣的（.其他學生表示贊同）

師：那么，大家得出的結論就是形式上是有區(qū)別的，不過結果沒有區(qū)別，對不對？

學生思考了片刻.

學生思路的開闊、智力的開發(fā)、對知識的理解、探究的熱情都會因為數(shù)學概念的適度拓展而一一實現(xiàn).不過，值得教師注意的是，那些盲目超脫課程標準與教材的行為是極不科學的，教師應根據(jù)教材內容的特點及學生的能力進行知識點的挖掘與拓展，盲目拔高或加深對于學生概念體系的順利建構是會有很大負面影響的.

四、概念的應用

【片段4】

出示例題：觀察以下代數(shù)式，并考慮其可否作為二次根式的被開方數(shù).若可以，請嘗試求出字母的取值范圍；若不能求出，請嘗試說明理由.

生：a2+1始終是非負數(shù)，因此，a2+1也是可以的，a可取任意實數(shù).

生：-2a2-1是無法成為二次根式的被開方數(shù)的，因為-2a2-1始終是個負數(shù).

師：很好，大家始終能夠緊緊抓住 二次根式這一概念的本質進行解題，由此可見，大家對這一概念的理解還是比較到位的.大家再來思考下面的問題.

師：解決此題主要借助的是什么知識呢？

生：二次根式和完全平方式都是非負數(shù)這兩個知識點是解決此題的根本，根據(jù)非負數(shù)之和等于0可以推斷出各加數(shù)都等于0，再建立方程組令此題得解.

師：歸納得很到位！同學們應該在上述兩個例題的解決中感受到了二次根式的基本特征在解題中的具體應用，大家在以后的解題中也要像今天我們這樣進行解題并及時反思與總結，相信大家一定能積累更多的解題經(jīng)驗并逐漸提升自主解題的能力.

概念的形成過程從思維方式這一角度來看可以說是一個聚斂性思維的過程，而概念的應用則表現(xiàn)得與之相對，是鍛煉學生發(fā)散性思維的過程.理解概念、掌握概念、應用概念這一過程應該說是一個積極思考、體會與感悟的過程，教師在具體教學中可以借助問題來鞏固概念并在這一過程中形成更多的動態(tài)生成，使學生能夠在概念的正用、反用、變用過程中準確攫取問題的本質特征并對概念的理解進行升華.