基于案例分析的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式研究

☉江蘇省南京市浦廠中學(xué)陳華

反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性并概括客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式及結(jié)構(gòu)關(guān)系的理論即為數(shù)學(xué)概念，彼此聯(lián)系并因為邏輯關(guān)聯(lián)而構(gòu)成的理論是數(shù)學(xué)大廈的基石，一切數(shù)學(xué)定理與法則都是在數(shù)學(xué)概念的邏輯基礎(chǔ)上得以形成與發(fā)展的.也就是說，數(shù)學(xué)定理與法則都是在數(shù)學(xué)概念這一支點的作用下發(fā)揮其價值的.由此可見，數(shù)學(xué)概念的理解對于數(shù)學(xué)知識的掌握、數(shù)學(xué)判斷與推理來說是必要的前提.因此，教師應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)概念的理解落實教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力與解題能力的真正提升，將概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，并幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)形成獨到而深刻的理解.

概念的表達(dá)形式在數(shù)學(xué)教學(xué)中是可以忽視的，不過，概念實質(zhì)上的內(nèi)涵與外延的忽略卻是萬萬不可的.因此，教師在具體教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注概念的引入、概念的理解、概念的拓展及概念的應(yīng)用這四個方面.本文結(jié)合“二次根式”這一內(nèi)容對上述四個方面進(jìn)行具體的思考與闡述.

一、概念的引入

【片段1】

提示問題1：觀察以下式子的特點并進(jìn)行分組：

生：-3a2b3c、2m+1、x2-3xy+2y2.

師：將這三個式子放在一組有何理由呢？

生：都是整式，-3a2b3c是單項式，2m+1和x2-3xy+2y2是多項式.

師：大家觀察力很強，按照整式、分式與含有二次根號的特點將上述式子分成了三組，不過第三組的名稱我們還不清楚.在以前的學(xué)習(xí)中，我們遇到過類似問題嗎？

提示問題2：如何用式子將以下問題中所求的量表示出來呢？

（1）正方形的邊長為1，其對角線的長為多少？

（2）圓的面積為S，其半徑為多少？

（3）直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，其斜邊為多少？

（4）一物體從h（m）高的地方落下需要的時間為t（s），且滿足h=5t2，如何用h表示t呢？

學(xué)生在獨立思考后給出答案：

師：我們以前學(xué)習(xí)過數(shù)的算術(shù)平方根，數(shù)的算術(shù)平方根又如何過渡到式的算術(shù)平方根呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

借助數(shù)學(xué)問題與實際問題引入二次根式這一概念的方式令學(xué)生很快明了了這一概念的重要性與必要性，學(xué)生在明確認(rèn)知任務(wù)的同時會產(chǎn)生更加強烈的認(rèn)知需求.教師對這一概念的逐步引入也令學(xué)生對概念的理解更為深入.

二、概念的理解

【片段2】

師：我們今天學(xué)習(xí)了二次根式，大家結(jié)合之前學(xué)過的整式、分式來思考一下二次根式最顯著的特點吧.

生：有二次根號.

全體學(xué)生哄堂大笑.

師：大家笑什么？

生：這個答案顯而易見，等于沒有回答.

師：尊重他人是我們每個人都必須學(xué)會的，同學(xué)們，這個同學(xué)的回答雖然淺顯，但并不像我們所理解的回答與不回答沒有區(qū)別，當(dāng)然，如果這個同學(xué)能將二次根號的性質(zhì)或要求表達(dá)出來，回答就顯得有深度了.

生：（舉手，表現(xiàn)得很急切）老師，被開方數(shù)不能小于0.

師：為什么？

生：因為負(fù)數(shù)沒有平方根.

引導(dǎo)學(xué)生在獲得概念之后對其進(jìn)行去粗存精、由表及里的思維加工，并對概念的內(nèi)涵進(jìn)行抽象化與形式化，能使學(xué)生廓清概念外延的同時知其所以然并促進(jìn)對概念的深化理解.

三、概念的拓展

【片段3】

生：有的，運算的順序不同.

生：不過從兩式的運算結(jié)果來看兩者沒有區(qū)別，雖然它們的表達(dá)形式是不一樣的（.其他學(xué)生表示贊同）

師：那么，大家得出的結(jié)論就是形式上是有區(qū)別的，不過結(jié)果沒有區(qū)別，對不對？

學(xué)生思考了片刻.

學(xué)生思路的開闊、智力的開發(fā)、對知識的理解、探究的熱情都會因為數(shù)學(xué)概念的適度拓展而一一實現(xiàn).不過，值得教師注意的是，那些盲目超脫課程標(biāo)準(zhǔn)與教材的行為是極不科學(xué)的，教師應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容的特點及學(xué)生的能力進(jìn)行知識點的挖掘與拓展，盲目拔高或加深對于學(xué)生概念體系的順利建構(gòu)是會有很大負(fù)面影響的.

四、概念的應(yīng)用

【片段4】

出示例題：觀察以下代數(shù)式，并考慮其可否作為二次根式的被開方數(shù).若可以，請嘗試求出字母的取值范圍；若不能求出，請嘗試說明理由.

生：a2+1始終是非負(fù)數(shù)，因此，a2+1也是可以的，a可取任意實數(shù).

生：-2a2-1是無法成為二次根式的被開方數(shù)的，因為-2a2-1始終是個負(fù)數(shù).

師：很好，大家始終能夠緊緊抓住 二次根式這一概念的本質(zhì)進(jìn)行解題，由此可見，大家對這一概念的理解還是比較到位的.大家再來思考下面的問題.

師：解決此題主要借助的是什么知識呢？

生：二次根式和完全平方式都是非負(fù)數(shù)這兩個知識點是解決此題的根本，根據(jù)非負(fù)數(shù)之和等于0可以推斷出各加數(shù)都等于0，再建立方程組令此題得解.

師：歸納得很到位！同學(xué)們應(yīng)該在上述兩個例題的解決中感受到了二次根式的基本特征在解題中的具體應(yīng)用，大家在以后的解題中也要像今天我們這樣進(jìn)行解題并及時反思與總結(jié)，相信大家一定能積累更多的解題經(jīng)驗并逐漸提升自主解題的能力.

概念的形成過程從思維方式這一角度來看可以說是一個聚斂性思維的過程，而概念的應(yīng)用則表現(xiàn)得與之相對，是鍛煉學(xué)生發(fā)散性思維的過程.理解概念、掌握概念、應(yīng)用概念這一過程應(yīng)該說是一個積極思考、體會與感悟的過程，教師在具體教學(xué)中可以借助問題來鞏固概念并在這一過程中形成更多的動態(tài)生成，使學(xué)生能夠在概念的正用、反用、變用過程中準(zhǔn)確攫取問題的本質(zhì)特征并對概念的理解進(jìn)行升華.