幾何建模：學生高質量思考的方式

☉江蘇省無錫市僑誼實驗中學劉丹丹

☉江蘇省無錫市僑誼實驗中學成宏喬

自《義務教育數學課程標準（2011年版）》將模型思想作為十個核心概念之一提出后，教師對模型思想運用和滲透的研究更加深入，在日常的教學中也經常灌輸，但對學生而言，建立數學模型（尤其是幾何建模）難度很大，體會和理解模型思想需要知識和經驗的積累.本文就結合一些例題談談對幾何建模教學的幾點思考.

一、幾何建模的常見方式

圖1

1.基于“基本事實”進行模型創建

例1如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點E是邊AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若AB=2，則PB+PE的最小值是_______.

本題的幾何背景是菱形，根據對稱性，可將線段BP轉化為線段DP，從而求線段DP＋EP的最小值.由“兩點之間，線段最短”，可知當D、P、E在同一條直線上時，所求和最短.若取線段AD的中點M，將線段EP轉化成線段MP，同樣可以求解.

本題是典型的“將軍飲馬”問題，學生對此模型比較熟悉，有不少學生很快就能完成，但是詢問學生“為什么這么做”時，學生基本上答不上來，解決本題主要依靠解題經驗，即“題海戰”的成果.甚至有教師在教學時根據題目的條件“有兩個定點和一個動點”，從而把這種模型稱為“兩定一動”，以至于還有“一定兩動”“兩定兩動”等模型.建議教師在進行解題教學時，還是要考慮問題的本質屬性.對于本題，可以引導學生通過對稱轉化，直觀地構建“線段”.在教學中，如果對構建“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個模型進行分析、比較，學生可以更清晰地認識到它們的區別，提升建立模型的能力.

圖2

2.基于“定理”進行模型創建

例2如圖2，在Rt△ABC中，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長的最小值.

本題由條件“AB⊥BC”和“∠PAB=∠PBC”可得∠APB=90°，由圓周角定理“90°的圓周角所對的弦是直徑”構造圓，再根據直線外一點與圓上各點的關系確定CP的最小值.或作AB邊上的中線PM，得到△PMC，再用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”解決.

本題難度較大，上述兩種方法均需“構造”出數學模型，主要讓學生運用好間接條件“直角”，而在初中數學里，與“直角”有關的數學知識較多，如何使學生通過思考、判斷，運用上述方法解決是難點.對于一些學習能力較強的學生，教師可以給他們思考的時間，讓他們自己去體會和構造.而對于學習能力一般的學生，在做本題時，教師需做好知識鋪墊，與學生一起“回憶”直角的知識，然后進行模型構造.

圖3

3.基于“定義”進行模型創建

例3如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，求A′C長度的最小值.

本題由于圖形翻折，得到結論AM=DM=A′M，根據圓的定義“圓是到定點的距離等于定長的點的集合”，從而構造圓.或者構造△CMA′，由于線段MA′和CM的長度確定，可以運用三角形三邊關系的知識解決.

深入理解數學定義尤為重要，是學生學習數學的基礎.翻折作為全等變換的一種，學生可從中得到很多信息，如全等、對稱等，教學中，引導學生在眾多的信息中找出“AM=A′M”是解題的關鍵.應該根據條件之間的關系進行思考，結合條件“點M是AD邊的中點”，得到“AM=DM”，因為這兩個結論均和線段AM有關，所以聯系起來的可能性很大.運用數學模型解決問題中最關鍵的一步就是建立正確、合理的數學模型，這需要在繁多的條件及復雜的關系中找出最基本的特征和規律，并用最簡單、最基本的方式刻畫出來.

4.基于“常見圖形、特定方法”進行模型創建

例4 （1）如圖4，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，請你完成圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE=CD；

圖4

圖5

（2）如圖5，利用（1）中的方法解決如下問題：在四邊形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的長.

本題第（1）問考查學生的閱讀理解能力及作圖水平，由等邊三角形邊角的相等關系，通過“SAS”可得△ADC≌△ABE，進而得到BE=CD.第（2）問中由隱含條件“AC=AB；∠CAB=90°”，再聯系第（1）問的解法，將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE，線段BD轉化成CE，在Rt△CDE中，運用勾股定理求出線段CE（即BD）的長.

由兩個有公共端點的等邊三角形構造出全等模型，即“手拉手三角形”模型，該模型比較常見，大多數學生能輕松解決.在第（2）問中，思維要求較高，首先根據“∠ABC=∠ACB=45°”得到等腰三角形，有了可以旋轉的條件，按照第（1）問的解題方法構造“手拉手三角形”模型.這樣的解題方式和思考方法受到老師們的青睞，在很多數學題中有所涉及，它主要考查學生的思維邏輯及模型思想，從“建”模型到“用”模型，對學生而言，是思維上質的飛躍，長此以往，學生的創新能力及解決問題的能力會大幅度提升.

二、幾何建模的教學建議

1.明確并落實教學目標

幾何建模由于形式靈活、問題開放，在教學實施過程中首先要制定好教學目標，充分考慮學生已有水平進行備課，建模是一種高階的思考方法，對學生而言要求不低，教學中需要學生理解、感悟，教學設計中應充分實現“師生交流”“生生交流”，通過交互式教學讓學生“想一想”“跳一跳”，獲得知識及興趣.對于每個學段的學生，教學要求需有差異.基于學生的學習能力設計課堂教學，多一些有質量的思考，切實提升學生的數學素養.幾何建模的教學也要避免重復訓練，多一些思考方法的傳授，才是聰明的教學.如在上述例題中，讓學生感受到線段和最小值的問題往往通過對稱將圖形“拉直”；而定點與動點之間的距離則需探索動點所形成的軌跡，從而才能進一步解決問題.這些都是通過“思考”形成的“方法”，就是數學素養，這才是數學教學的追求.

2.靈活運用數學基本模型

數學基本模型很多，像使用方程模型、函數模型、概率模型等解決問題還“有跡可循”，但幾何模型的問題比較獨立，甚至一種思考方法就可以編制一道試題，正因為此，我們在教學過程中要考慮學生的負擔，把基本模型使用好，不能一味地提升難度，學生解題水平取決于對知識本質的理解.在日常幾何模型教學中，我們應以圖形的性質、定義、定理及基本事實為主.如例3中，模型“圓”的出現不是因為翻折，而是翻折過程中的結論AM=DM=A′M，根據圓的定義得到的.因為翻折的結論有很多，如對稱、全等、等腰三角形……如果要全部記住，學生還有什么精力學習更有意義的事呢？更有甚者，有教師在平時的教學中給學生傳授“12345”“阿氏圓”等高難度模型，個人認為，這些內容老師研究即可，對大多數學生而言，這些內容不會提升他們的數學水平，只會讓他們對數學“望而卻步”.

圖6

3.以學生課堂收獲衡量教學

幾何建模的理解和運用對學生而言，思維要求較高.在平時的教學中，教師所做的不僅僅是通過講解讓學生聽懂，僅僅學會模仿遠遠不夠，在“深度學習”“能力為重”的教學評價的背景下，我們的數學課堂要“活”，衡量課堂教學效果的好或不好，主要是看學生收獲多少、提升多少.模型教學不是傳授給學生“套路”，要應該傳授“解題方法”和“數學思想”，尤其在高年級的教學實施中，需要少一些機械模仿，多一些創新思考，甚至要故意打破表面的“模型”，探究數學的本質.如在完成例1后，可以讓學生完成下題：如圖6，P為正方形ABCD的對角線BD上一動點，若AB=2，求AP+BP+CP的最小值.本題的背景還是求線段和的最值，但解決的方法不是通過對稱轉化，而是通過旋轉變換進行線段的轉化，但本質還是運用“兩點之間，線段最短”，且難度不小，可作為一節課思維的“高潮”，在學生學會“模型”后解決才有一定的價值，這才真是高質量的創新和思考.

三、寫在最后

數學建模教學既是課程發展的需要，也是課堂實施的需求.數學建模就是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程.在幾何模型教學中，建立幾何模型的能力取決于對數學的理解，這種思維方式可以內化為學生解決問題的能力.對學生而言，這方面的學習很難，教學中要經常滲透，需引導學生認真體會、思考.幾何建模教學中，要讓學生主動參與和積極思考，這樣可以緩解“教”與“學”的矛盾，在激發學生“學”的同時，還需關注學生應用意識和創新意識的提升.

需要再次表述的是：基礎教學不是競賽培訓，不能一味地提升難度，基本思想、基本方法更需要認真對待、慎重處理，這樣才能用好“基本模型”.另外，在上述一些例題中，缺少了實際背景，也就少了“找”的過程，考慮到字數，本文呈現的更多的是根據條件“構造”模型的過程.

幾何建模思想的滲透是一個長期的過程，需要一線教師堅守，才能提升學生數學建模的水平，真正地實現從“思考”到“創造”.F