基于幾何直觀的初中代數(shù)教學思考

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星湖學校毛興明

幾何直觀是一種重要的數(shù)學研究思路，指人們根據(jù)圖像對問題進行描述和分析.幾何直觀的運用可以促成復(fù)雜問題的簡化，有助于學生對問題產(chǎn)生更加形象、簡明的認識，這樣的操作有助于學生更快地探明問題的解析思路，并預(yù)測結(jié)果.在初中代數(shù)教學過程中，教師引導(dǎo)學生對相關(guān)內(nèi)容進行轉(zhuǎn)化，以幾何直觀為載體，促進學生理解相關(guān)內(nèi)容，不但有助于學生理解代數(shù)知識，同時他們的直觀想象能力也會得到發(fā)展，這正是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要方面.

一、有效引導(dǎo)，培養(yǎng)學生結(jié)合圖像思考代數(shù)問題的習慣

對學生的代數(shù)學習而言，正確的習慣非常重要，教師要引導(dǎo)學生充分經(jīng)歷將代數(shù)問題翻譯為圖形問題的過程，同時要引導(dǎo)學生體會如此操作讓問題變得更加簡化的事實.一旦學生發(fā)現(xiàn)，一些直接處理起來比較麻煩的代數(shù)問題，在幾何圖形的幫助下，就實現(xiàn)了高效解決，學生將產(chǎn)生自發(fā)進行轉(zhuǎn)化和研究的意識.

在實際操作中，學生首先要明確所要研究的代數(shù)問題的內(nèi)容，教師再引導(dǎo)他們將對應(yīng)問題與圖形銜接起來，將代數(shù)問題中所涉及的研究對象以圖形的方式直觀表達出來.然后，學生需要研究圖形間的聯(lián)系，藉此發(fā)現(xiàn)問題解決的突破口，探明問題解決的思路.學生將在上述過程中體驗到利用幾何直觀處理代數(shù)問題的優(yōu)勢，進而養(yǎng)成一種與之匹配的問題分析習慣.

比如，有這樣一個問題，已知兩個一次函數(shù)l1∶y1=x+2和l2∶y2=-x+4，兩條線相交于點A（1，3），試問：如果要讓y1＞y2，則x的取值范圍是什么？

面對這樣的問題，教師應(yīng)該引導(dǎo)學生在頭腦中勾勒出這兩個一次函數(shù)的圖像，這一步是讓學生形成最基本的構(gòu)圖意識，然后要求學生在直角坐標系中將圖像繪制出來，隨后學生將通過對圖1的觀察，得出結(jié)論：當x大于1時，直線l1處在l2的上方，相應(yīng)的取值范圍也就由此而被確定.

在上述過程中，學生的思考過程要比繪圖過程重要得多，因為只有科學的思維才能將代數(shù)研究的對象與直觀圖形聯(lián)系起來，由此推動代數(shù)問題的圖形化.當然，繪圖過程也相當重要，這能讓學生形成更加形象化的處理，減輕學生抽象思維的負擔，學生的分析和研究也能有所依據(jù).

圖1

二、結(jié)合幾何圖形，研究代數(shù)問題中的邏輯關(guān)系

初中數(shù)學教師引導(dǎo)學生將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并且由圖形產(chǎn)生直觀思維，這樣可以讓學生的思維更加形象、直觀.但同時，教師要啟發(fā)學生在此基礎(chǔ)上展開理性思考，探求相關(guān)圖形的邏輯關(guān)系，這樣處理有助于學生發(fā)現(xiàn)問題解決的本質(zhì).

比如，有這樣一個例子：市區(qū)組織各個學校進行排球聯(lián)賽，比賽以循環(huán)賽的模式進行，即每支隊伍都要跟其他學校的球隊進行一場比賽，如果已知參加聯(lián)賽的排球隊一共有n（n≥2）支，請問：一共要發(fā)生多少場比賽？

這個問題的處理，要求學生不但能畫出對應(yīng)的圖形，還能夠通過圖形將其中的邏輯關(guān)系梳理清楚.在探討各個球隊比賽場次的問題時，我們可以用點代表球隊，以點和點之間的連線代表球隊之間要進行的比賽，這樣最終要確定的比賽場次也就對應(yīng)著線段總的條數(shù).

圖2

隨后學生結(jié)合幾何圖形研究和分析問題，又由于這個問題中的球隊支數(shù)是以字母表示的，這也就對應(yīng)著一個探尋規(guī)律的問題，學生可以依次將n設(shè)定為2、3、4、…，由此得出如圖2所示的點與線段的關(guān)系，并結(jié)合n的不同取值，得出比賽場次，并最終得出總的規(guī)律.

如果n取2，即只有2支球隊比賽，對陣關(guān)系如圖2a所示，2個點之間只有1條線段，因此需要進行1場比賽.

如果n取3，即有3支球隊比賽，對陣關(guān)系如圖2b所示，3個點之間有3條線段，因此需要進行3場比賽.

如果n取4，即有4支球隊比賽，對陣關(guān)系如圖2c所示，4個點之間有6條線段，因此需要進行6場比賽.

如果n取5，即有5支球隊比賽，對陣關(guān)系如圖2d所示，5個點之間有10條線段，因此需要進行10場比賽.

學生對上述幾幅圖展開比較和探索，在此基礎(chǔ)上研究比賽場次和n的取值之間的邏輯關(guān)系.這一過程要求學生能夠多方位展開思考，才能在錯綜復(fù)雜的數(shù)據(jù)中提煉出簡潔且明確的數(shù)量關(guān)系.筆者認為，這一過程最能激活學生的思維，同時是最能向?qū)W生展現(xiàn)思維力量的時候.該階段最適合讓學生將自主學習和合作學習搭配進行，讓學生在相互討論中獲得啟發(fā).學生很快發(fā)現(xiàn)，每個點都會與其他點發(fā)生連線關(guān)系，但同時每條線都參與了兩次連線過程，所以如果有n個點，則每個點都會產(chǎn)生（n-1）條連線，如此一共產(chǎn)生了n（n-1）條連線，再考慮到每根線都產(chǎn)生了兩次，也就是最后的結(jié)果要除以2，即一共發(fā)生的比賽場次應(yīng)該是

三、重視實踐操作，重構(gòu)幾何圖形

在代數(shù)學習的過程中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，對于一個代數(shù)問題，如果直接處理，則很容易陷入僵局，但是如果換一下思路，則可能產(chǎn)生意想不到的效果.類似地，如果我們采用幾何直觀的思維處理某些問題，無法得到滿意的答案，而通過實踐操作，對圖形進行適當變換，往往會讓人原先被卡住的思維恢復(fù)暢通.

比如，研究圓柱體的側(cè)面積時，由于這是一個彎曲面，直接求解非常困難，但是我們把圓柱的側(cè)面徹底展開，這樣就可以把這個曲面轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生所熟悉的平面圖形——矩形，圓柱體的高和圓柱體底面的周長就分別對應(yīng)著圓柱體的寬和長.

再比如，這樣一個問題：現(xiàn)有如圖3a所示的四邊形ABCD，已知∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于點E，如果已知AE的長度為10，求原四邊形的面積.

學生在處理這個問題時，大多會從分割的方法著手，將原先的這個四邊形分割成直角梯形ABCE和直角三角形ADE，只要將這兩個特殊圖形的面積求解出來了，問題也就徹底解決了，但是，題目中只給出了AE這條邊的長度，因此這條路無法走下去.

圖3

怎么辦呢？幾何直觀要求學生能夠通過自己的操作不斷試探，進而將規(guī)律混亂的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉而簡單的圖形，促使題目的簡化處理.這個問題最終的處理只要將圖3b中的直角三角形ADE裁剪下來，拼湊到圖中虛線的位置，學生將很容易地得到一個邊長為10的正方形，整個圖形的面積在這個過程中沒有發(fā)生變化，因此可以確定原先四邊形的面積是100.

當我們引導(dǎo)學生采用幾何直觀的方法構(gòu)建思路處理問題時，務(wù)必要讓學生重視實際操作的過程，很多時候問題與答案也就是一線之隔，學生如果卡在某處猶豫不決，只會讓他們浪費時間，在無法收獲的同時厭倦了對數(shù)學問題的探究.越是遇到這樣的情況，就越要關(guān)注學生意志品格的走向.所以在日常教學中，教師不但要注意知識和方法的教學，也要通過一些難題訓(xùn)練學生的耐受能力，鍛煉他們的意志.

總之，在初中代數(shù)教學過程中，教師要引導(dǎo)學生展開思考和探討，將幾何直觀納入代數(shù)問題的探究過程中，由此提升他們的探究效率，也培養(yǎng)與此相關(guān)的能力.