一題多解理解學生分層講評

☉江蘇省常熟市興隆中學張建良

一、題目呈現

（2018年蘇州市中考試題）如圖1，直線l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形ABCD是一塊邊長為100米的正方形草地，點D在直線l上，小明從A出發，沿公路l向西走了若干米后到達E處，然后轉身沿EB方向走向F處，接著又改變方向沿射線FC走到公路l上的點G處，最后沿公路l回到A處，設AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y與x之間的函數關系如圖2所示.

（1）求圖2中線段MN所在直線的函數表達式.

（2）試問：小明從起點A出發直至最后回到點A處，所走過的路徑（即△EFG）是否可以是一個等腰三角形？如果可以，求出相應x的值；如果不可以，說明理由.

圖1

圖2

二、三種解法

解析：（1）線段MN所在直線的函數表達式為y=x+200.

（2）思路：將EB、FB、FC、CG都用含x的代數式表示，再分類討論建立方程求x的值.

至此，這個題目“數大”“式長”的氣質給了學生第一次感官上的震撼.但為了研究△EFG是否構成等腰三角形就需要表示相關線段的長.

解法1：直接分類，不問西東.

對△EFG分以下三種情況討論：

①當EG=EF時，得△EFG是等腰三角形.

在這樣一個解題過程中，所調動的思維量不大，首先BE、CG可利用勾股定理用含x的式子表示，順著這樣的思路再利用相似三角形的性質將線段FB、FC也用含x的式子表示.接下去就可以按常規方法進行分類，根據“等腰”條件要求建立方程，計算出x的值.此處的難點并不是能不能列出方程，而是能不能順利求出未知數x的值.當然，這樣的解題方法并不是命題組希望看到的，因為整個解答過程沒有了思維的簡潔性和靈活性.

解法2：轉化對象，聲東擊西.

由BC∥AD，得△FBC △FEG，所以當△FBC是一個等腰三角形時，可知△EFG也是一個等腰三角形.因此對△FBC分以下三種情況進行討論.

學生在遇見眼前“繁雜”的方程時，自然想到了“轉化”這一思維方法，展示“聲東擊西”的思維策略.此處的思維優勢就是通過轉換，轉到另一個研究對象上實現減少計算量.如果出現這樣一個解答過程，那么考查了學生靈活轉化問題的思維和一定的計算能力.以上兩種解法呈現“小思維、大計算”的格局，那么有沒有“大思維、小計算”的解決方案呢？

解法3：線段轉化，簡潔靈動.

①當EF=EG時，得△EFG是等腰三角形.

由EF=EG，得∠G=∠F.

由BC∥AD，得∠G=∠BCF.

則∠BCF=∠F，則BF=BC=100.

由EF=EG=EA+GA=x+y=2x+200，得EB=EF-BF=2x+100.

在Rt△AEB中，EB2=AE2+EB2，則（2x+100）2=x2+1002，解得（舍去）.

②當GE=GF時，得△EFG是等腰三角形.

同①，得CF=CB=100.

在Rt△GCD中，GC2=GD2+DC2，則（2x+100）2=（x+100）2+1002，解得x=

1（不合題意，舍去）.

（3）當FE=FG時，得△EFG是等腰三角形.

連接CE.

由ED=GD=x+100，∠ADC=90°，得CD是EG的中垂線，則CE=CG，則∠CEG=∠G，則∠FEG≠∠G.則不存在x，使FE=FG，即不構成等腰三角形EFG.

在這樣的一個解法中，一沒有用到相似三角形的性質，二沒有列出帶根號的方程，所以解題過程呈現出“小清新”，有一種四兩撥千斤的感覺.這樣的解題風格是建立在兩次線段轉化的基礎上實現的，解題過程展示出了一個學生所具備的優秀的數學思維品質.

三、解法評講

上面三種解法有相似的地方，但更多地體現了不同的解題數學思維水平.第一種解法思維水準一般，只是從解決問題的思路出發，單刀直入，雖直接但費時費力.第二種解法思維水準中等，通過一次轉化所列出的方程相對變得簡單，降低了不少計算量.第三種解法思維水準上等，通過兩次轉化“腰”的數據，列出整式方程，計算順暢.當然學生正確解答都會得滿分，但事實上這樣一個考題確實考查出了學生的不同層次的數學思維水平.

如果要評講這樣一個試題，作為教師又該如何選擇呢？選擇解法1，則想少算多；選擇解法2，則想不多算不多；選擇解法3，則想多算少.面對一個班級中不同學習水平的學生，該如何選擇是一個數學教師必須思考明白的問題.

教師選擇哪一個解題方法進行講評，應該做好以下三個方面的準備，即理解題目、理解目的、理解學生.

理解題目就是明確題目中要求什么，它屬于什么知識范疇，目前已知條件是什么，已知和未知之間缺少什么關聯，確定大致的解決方案.

理解目的也就是教師看到題目，首先，弄清題目所涉及的內容及解答過程中所需要的思維水平和運算能力等；其次，厘清命制該題的目的和意圖.比如，該題考查內容：一是勾股定理，二是方程建模，三是分類討論，四是轉化思想.

理解學生也就是要在評講前準確把握班級中學生的學習狀況，要看到班級中大多數學生的思維水平和解題思路，還要看題目是出現在學習新知識的復習階段還是中考復習階段，不同的階段自然會選擇不同的解答途徑.一題有多解但還需一題有優解，什么是優解？不是教師感覺好的、技術含量高的解法，而是學生能理解、能聽得懂的常規解法，這樣的解法應該最貼近學生當前的思維狀態和解題能力，其他解法可能只能是錦上添花，使不同的學生獲得不同的解題體驗.

以該題為例，解法1思維起點不高但運算繁；解法3思維要求高，但運算簡單，特別是其中利用隱藏的中垂線討論更是思維出眾.為此，教師在講評時更應該貼近學生已有的解題思維和經驗進行講解，避免因為計算量大的問題造成對思考出的解題思路產生懷疑或否定.當然可以將解法1作為引子激發學生積極思考尋找更簡潔的解法2，讓學生感受計算也是一門技術，尋找簡單解法也是一份數學念想.

四、教學啟示

解題中有時會出現思維易但不易算的方法和計算易但思維靈活的方法，如果遇到這兩類方法，那么教師如何選擇適合大部分學生的解題方法進行講評教學呢？先看下面一個考題.

如圖3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=6，AC=8，點P從點B出發沿斜邊BA向點A勻速運動，速度為每秒2個單位長度.點D從點A出發沿AB向點B勻速運動，速度為每秒3個單位長度.過點P作PM⊥BC于M，作PN⊥AC于點N.點P與點D同時出發，設它們的運動時間為t（單位：s），當其中一個點先到達終點時，另一個點也隨之停止運動.

（1）當點P與點D相遇時，t=_____；

（2）當點P與點D相遇后，若線段CD與MN相等，求t的值.

在解第（2）題時，有兩種解法：

解法1：如圖4，作DH⊥BC于H.

圖3

圖4

解法2：如圖4，連接CP，作CQ⊥AB于Q.

通過兩個解法的呈現，對上面提出的問題可以給出以下說明.學生在試卷上作答時用第一種解法比較多，直接使用CD2=MN2作為相等關系，然后分別找出CD、MN所在的Rt△CDH和Rt△PMN，再把這兩個三角形的各條直角邊用含t的表達式表示出來，方程易列但學生在進入計算環節后往往敗下陣來，所以有教師抓住這一點，在上課時會說，這么繁的計算你還想算嗎？潛臺詞就是說你思維不夠靈活.但不能有時因為計算復雜就成為教師嫌棄的理由，其實計算下去不斷接近目標是對自己思維的一種肯定，計算過程其實是對自己克服困難的一種態度，計算結果正確其實是對自己的一種激勵.在習題評講教學中，“重”思維、“輕”計算是我們數學教師不能視而不見的一個不好的現象.有時煩瑣一點的計算中需要化繁為簡的數學智慧，也是一次提升學生計算能力的途徑，避免出現想的對卻做不對的局面.

解題教學是數學教學中的主旋律，學生因會做題而愛數學，學生也因不會做題而不喜歡數學.大多數學生想到的方法應該是離學生思維狀態最近的想法，在這一狀態下學習的學生容易接受和理解教師的所思所講，跳一跳能找到解題思路，在這樣的基礎上和學生進行講評收獲會最有成效.作為數學教師，不應把自己心中的好方法、新思路毫無選擇地傳授給學生，而應通過批閱和交流手段收集到“群眾的聲音”，不斷貼近學生的思維找到適合當前學生的解法講評.因此，如何進行基于學生思維狀態下的解題評講教學是擺在我們每一位數學教師面前的課題.