析疑難之諸因，探求解之通法
——反思求解一類幾何最值問題

☉浙江省三門縣英華外國語學校葉春泉

數學教學離不開解題.解題過程中，常會遇到一些常規的解題模式和常用的數學方法，我們稱之為通性通法.在研究解題過程中，若能提煉得到這種“學一法、會一類”的通用方法，自然是解題者的追求.但在實際的解題研究中，似乎又普遍在尋求著“妙解”，追求著“妙解”帶來的思維創造的快樂.其解題思路，學生往往是難以想到的.這與課標［1］中對評價的要求：注重通性通法，淡化特殊技巧的建議是不相符的.對此，筆者通過對一個幾何最值考題的反思，來闡述對數學解題中通性通法的關注.

一、試題呈現

原題：如圖1，△ABC、△DEF分別是腰長為16cm、10cm的兩個等腰直角三角形，頂點D、E分別在邊AB、AC上滑動.則滑動過程中，點A、F間距離的最大值為______cm.

本題是筆者命制的，用于重點高中自主招生檢測與教師區域調動文化檢測.作為填空題的壓軸題，本題在類型上屬于近幾年中考的常見題型——“動點與定點距離的最值問題”.試題圖形背景簡潔，考查對圓的相關特征的理解與線段的最值問題，試題的設計遵循《義務教育數學課程標準（2011年版）》的相關要求，關注考查學生的數學觀察能力和動手實踐能力，以及通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理證明結論的能力.但從教師的檢測結果中發現，26份答卷中只有1人正確作答，還有4人的錯誤答案均為有17人未作答，4人為其他錯誤答案，學生檢測反饋的得分率也接近0.

二、疑難分析

筆者通過閱查各種教輔資料和一些期刊，發現對“動點與定點距離的最值問題”的研究文章不少，對問題的求解也給出了很好的建議與策略，這些策略普遍關注創造性思維的開發和激發思維的靈活性，但很少有對這類問題具有的通性通法的見解.下面筆者將引用這些策略及其實例來分析這類問題求解中的疑難因素.

1.動點軌跡，顯現之難

例1 如圖2，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4.點P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）

圖2

圖3

本題為2016年安徽中考第10題，參考文獻［2］利用“隱圓”巧解這種線段最值問題，為此類問題提供了一種很好的解題模型.文中認為解本題時想到“隱圓”并不困難.如圖3，由題意可知∠APB=90°，故點P在以AB為直徑的圓上，設圓心為O，當線段CP的長最小時，點C、P、O在一條直線上，從而得到線段CP長的最小值為2.

這個“隱圓”在此問題的解決中的確起著關鍵的作用，但筆者認為發現“隱圓”并不容易，學生為何偏要去計算∠APB=90°？若事先能猜得點P的運動軌跡是以AB為直徑的圓弧，再去探求計算∠APB=90°，思路上可能會比較自然.

圖4

2.模型抽象，技巧之高

例2如圖4，在直角坐標系xOy中，已知正三角形ABC的邊長為2，點A從點O開始沿著x軸的正方向移動，點B在∠xOy的平分線上移動，則點C到原點的最大距離是（）.

本題與原題相似度極高，參考文獻［3］利用“曲柄連桿模型”進行巧妙求解.如圖5～7，圖5為曲柄連桿實物圖.如圖6，當N位于OM上時，OM最大；如圖7，當O位于MN上時，OM最小.這個模型的特征是“曲柄”中的兩條線段ON和MN是定長的，其中ON繞點O旋轉.

圖5

圖6

圖7

文中分析：先找到“曲柄”中哪一條柄在旋轉，即找出這個定圓，聯系相關點O、A、B，確定△ABO的外接圓，如圖8，P的是圓心，因為∠APB=2∠AOB=90°，所以OP=PB=PA=，PC=1+.因此，當AB在滑動時，圓P的位置改變，大小不變，OP、PC就是“曲柄”中的兩條“柄”，問題便可解決.同時指出了解決這類題的關鍵是找到“曲柄連桿模型”中的兩條“柄”.

圖8

圖9

反思本題所運用的“曲柄連桿模型”，基本的思想方法就是把變化的距離轉化為幾條定長的線段.因為模型的抽象，決定了轉化并不容易.從模型本身來看，具有“定圓（心）動點”的特征.而本題的求解又進一步抽象為“動圓（心）動點”，所以要找到兩條定長的線段OP、PC實屬不易.筆者認為本求解有兩疑難：其一，解題時，判斷問題是否符合“曲柄連桿模型”；其二，模型抽象，要正確轉化并不容易.再如原題中4位教師的錯誤解答，答案為筆者推測是轉化過于復雜所致.推測如下：如圖9，求得三條定長線段OA=5、OG=5、GF=5 5 ，當這三條線段在同一直線上時，AF取得最大值但未進一步思考 OA、OG、GF能否共線，導致出錯.其實，能想到利用“隱圓”把問題轉化為三條定長的線段，已經不容易了.

3.類別歸屬，局限之實

數學解題中，明確問題的類別，為解決的精準切入提供了方向.如：例1、例2具有“隱圓”這個特征，為解題的思考指明了方向.由于方法的運用僅局限于有“隱圓”的前提，所以解題時首要任務是判斷問題是否具有此特征.既然是隱著的，那么判斷的意識又來自哪里？而且判斷也是一個難點，況且在“動點與定點距離的最值問題”中，存在“隱圓”的僅是部分而已.所以，用“隱圓”去求解此類問題，又具有明顯的局限性.

諸多的因素，反映了求解這類“動點與定點距離的最值問題”時存在的障礙，同時為探尋自然的、具有廣泛意義的解法指明了方向.

三、探尋通法

數學解題中，通用、自然的解法應該具有特征明顯、模型簡潔及切入容易等特征.在“動點與定點距離的最值問題”中，動點與定點的特征是明顯的，但動點會隨圖形的變化而運動，涉及點的軌跡知識，它對分析問題的能力要求較高.由于初中階段受知識方面的局限，經整理發現考題基本上是考查直線型與圓弧型兩類軌跡，運用的基本依據是“垂線段最短”與“兩點之間線段最短”.基本的模型如下：如圖10，若P點在直線l上運動，當AP⊥l時，AP最小；如圖11，若P點在⊙O上運動，當A、P、O三點共線時，AP1最小、AP2最大.顯然P點的軌跡判斷是問題解決的關鍵，尋求一種通用的判斷方法自然值得關注.

圖10

圖11

1.動點有痕，思軌跡

動靜兩點間的距離最值問題中，動點的軌跡顯然是問題突破的關鍵，如何得出運動的軌跡，值得去思考、去實踐.結合上述疑難分析，筆者對此進行了一定的調查與實踐，并在參考文獻［4］中給出了一種認為比較自然的求解思路：描動點→猜軌跡→尋依據→用模型.

例3如圖12，已知?OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為______.（2016年無錫市中考第17題）

圖12

圖13

圖14

如13，若通過A、C的位置變化，描出若干個相應的點B的位置，從而可以猜測點B在直線x=4的平行線上運動.如圖14，進而分析為什么點B會在直線x=4的平行線上運動，指向于去發現BE的長為定值.由△BEC≌△ODA，得BE=OD=1，證實了點B在直線x=5上運動，依據“垂線段最短”，可得對角線OB長的最小值為5.

在例1中，這個“隱圓”的發現是問題解決的關鍵.如圖15，若先描出若干個符合條件的動點，容易猜出P點在以AB為直徑的圓弧上，再指向于尋找∠APB=90°.在這樣的思考中，軌跡的顯現自然變得容易.這種先實驗，再猜想判斷的做法是探析點的軌跡一種有效的方法.也是課標所強調的“參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動，發展合情推理能力和演繹推理能力……”體會數學的基本思想和思維方式.

圖15

2.動靜相對，易轉化

圖16

在“動點與定點距離最值的問題”中，雖然動點的軌跡通常是明確的，但也存在著動點軌跡很難明確的及動點軌跡不是直線型或圓弧型的問題.由于初中階段知識的局限，求解的障礙也就出現了.若利用“動靜轉化”的策略，往往可輕易突破，即把動點看成定點，把定點看成動點.

原題求解時，先對動點F的軌跡利用描點猜想，可發現軌跡很難判斷確定.如圖16，若把△DEF看成固定的，則F成了參照點，若把△ABC看成運動的，則A成了動點，不難發現點A的軌跡是圓弧.其中，DE為弦，圓周角∠A=45°，圓心角∠EOD=90°.易知當A、O、F三點共線時，AF最大，即A1F的長.半徑OA1=OE=OD=5，進而求得OF=，當點A運動到A1位置時，A1F=5+5.

本題的求解，由于直接判斷動點的軌跡比較困難，從而通過簡單的轉化，歸結為求相對點的軌跡，把問題轉化為常規的直線型與圓弧型軌跡問題，是解決這類幾何最值問題一種常用的轉化策略.在求解例2時，如圖8，若把正三角形ABC看成固定的，點O看成動點，則點O在以AB為弦的定圓P上運動，易知C到原點O的最大距離是1++.

四、寫在最后

數學解題貴在自然，教學中要強調從學生的實際出發，當然也并非不要巧解妙法，而是說首先要考慮某種解法的廣泛適應性，然后才是局部的靈巧性.即使一道題的某一解法，具有廣泛的意義而稍煩瑣，也比雖靈巧但意義局限的方法要可貴得多.