解題教學中存在的問題及應對策略
——一道中考試題的考后思考

☉江蘇省江陰市第一初級中學鐘珍玖

一、原題呈現

如圖1，四邊形ABCD內接于圓心O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的長.

圖1

圖2

二、學生答題失誤

這是2018年無錫市中考數學卷第24題，本題滿分8分，全市平均得分4.25分，從學生的答題情況來看，有以下幾種失誤：

失誤1：思維定式誤作圓的直徑.學生答卷上有很多都是連接BD，雖然構造了一條直徑，但是∠B被分成了兩個角，cosB=這樣一個重要的條件就不能使用了，這是典型的由思維定式形成的解題思維障礙，反映學生的思維缺乏靈活性，與教師平時的解題教學方法息息相關.

失誤2：思維定式誤作弦的垂線.這類考生有利用∠B的余弦的意識，進而構造直角三角形，同樣受到思維定式的影響，過點O作弦BC的垂線，反向延長EO交AB于點F，連接DF（如圖2），采用圖形分割的方法來構圖，此時需要證明四邊形DFEC是矩形，證明難度較大，學生思維受阻.

失誤3：三角函數概念記憶錯誤.學生還有一類非常可惜的答題錯誤，就是正確作出了輔助線，延長AD、BE交于點E，構造兩個直角三角形，但是把正弦和余弦的定義記反了，在高強度、大思維量的數學考試中，凸顯了數學基礎的重要性.

三、解題教學中存在的問題

1.套用“模型”，引發思維定式

數學解題模型化教學，在初中數學課堂教學中很常見，對此也有很多的爭論和研討，不可否認，在數學學習（特別是幾何圖形問題學習）的初期，模型識別有積極的價值，特別是對于數學思維能力不強的同學，對解題能力的提高有一定的作用.但是筆者從長期的教學實踐中發現，模型教學有很多的弊端，特別是容易形成思維定式，弱化對數學知識的理解，扼殺學生創新能力的發展，違背了數學思考“隨意性”的原則，不利于學生數學素養的提高.平時在學校聽課、外出培訓學習，包括時下盛行的網絡教研，套用“模型”解題比較流行，各種模型種類繁多，如將軍飲馬模型、手拉手模型、一線三等角模型等，甚至對于同一個問題深入挖掘，讓學生記住很多的中間結論，在解題中套用，筆者認為這些做法值得商榷.如果對于同一個數學問題進行一般化或者特殊化，發現其中的規律和結論，這些做法值得提倡，是數學學習所必須的.上題中的失誤1就是非常典型的模型強化形成的結果，我不止一次在聽課時，見到很多老師總結了圓中作輔助線的口訣：看到直徑想直角，看到直角連直徑，在這種模型的多次刺激后，思維不夠靈活的學生在連接BD把∠B破壞后就沒有解決問題的辦法了，這是答卷上出現失誤的情形.

2.就題論題，缺乏思維深度參與

一線教師的解題教學，就題論題的現象非常普遍，數學解題教學演變成只要解出答案或者推理出結論就可以了，更有甚者，解題的過程都是教師包辦的，沒有學生的思維參與，更不用說思維的深度參與了，這對于培養思維能力的數學學科來說，無疑是致命的做法.數學學習離不開解題，所以解題教學的重要性是不言而喻的，解題教學要培養學生獨立思考的能力，注重引導學生思考，特別是數學化的思考，要教會學生一般的思維方法如分析法、綜合法、綜合分析法等，也要教會學生數學獨有的思考方法如數形結合、圖形法等，除此之外，解題教學更要提倡學生用創新的思考方法，培養創新能力.教師要從思維方法和數學方法論的高度進行教學，促進學生思維的深度參與，提升數學思維品質.對于失誤2，如果從數學美的角度來看，把“殘缺”的圖形補齊，延長AD、BC構造兩個直角三角形，問題就迎刃而解了，而不是過分挖掘圓心的作用，作垂線構造直角三角形，缺少了思維的深度參與，學生的解題視野狹窄，解題手段單一，缺少應有的靈活性.

3.缺乏變化，不能洞悉數學本質

數學問題的本質就在于富于變化，特別是幾何圖形的結構千變萬化，所以解決問題的方法也是多種多樣，這是數學學科的特點，也是數學解題的魅力所在.很多老師把題目講死、方法固定，失去了數學學習探究的趣味，學生淪為解題機器，從而失去學習數學的興趣和動力.數學解題的變式教學，是深挖數學結構，探索數學本質最重要的手段.數學問題的變式方法很多：如把條件和結論互換，把條件強化和弱化，或者把結論特殊化或一般化，改變問題的背景等，本文不贅述這些方法.筆者要強調的是，對數學問題進行變式處理，反映出教師的基本功和對數學本質的理解，是教學必備的一項基本技能.從目前教學的現狀來看，很多教師沒有重視此項能力的提升，試想：解題教學中如果學生沒有領悟數學本質，怎么能夠提高思維能力，提升數學素養？對于無錫市這道考題的答題失誤，就是沒有理解數學本質，套用數學解題方法形成的，此題的本質就是構造直角三角形，然后解直角三角形，學生受圓的干擾，把思考問題的著力點放在圓上，導致解題失誤，是對數學本質理解不透.命題者別具匠心，繞開了平時教學中作垂線構造直角三角形的做法，用“補形”來解決問題，恰好命中了教師的教和學生的學的“軟肋”.

四、解題教學的應有之意

1.解題教學，滲透數學生長之道

眾所周知，數學學習需要思維的參與，不能僅靠記憶和模仿解決問題，生搬硬套的數學學習就失去了本真，“模型”解題教學有諸多的弊端，實不可取.數學有其自身的鮮明特征，所以數學學習也應該有其獨特的方法.筆者認為，數學基本概念、原理是數學思維的細胞，需要學習者深刻理解和領悟，這也是解題教學中要確定的目標之一，解題教學的目的不是解決一個數學問題寫出答案，而是加深學生對數學知識和方法的理解.數學思想方法是數學能力提高的重要抓手，數學學科區別于其他學科的特質就在于有其自身的思想方法，這是解題教學中最需要揭示和挖掘的，數學中很多困難的問題就在于含有豐富的思想方法，其思維具有獨到性，就是靈活運用數學思想方法的體現.掌握了基本概念，熟悉了數學思想，會用思維方法解決問題就意味著領悟了數學生長之道，數學素養就真正得到提升.

2.解題教學，培養多種思維品質

培養學生的邏輯思維能力、推理能力和多種思維品質是數學教學最重要的任務之一，而解題教學就是培養思維品質最重要的抓手.解題教學不僅僅是教給學生套路，掌握一些解題方法和技巧，其終極目標是培養學生的思維品質，即思維的敏捷性，靈活性、創新性等.對于問題中的條件和結論，要深刻理解其思維本質，這樣思維的方向才能準確，思維才能敏捷，視野才能開闊.失誤2的問題在于思維不靈活，只想到把∠B構造到直角三角形中，而不會把∠B轉移到另一個直角三角形中.解題教學提倡一題多解、一題多變，才能使學生思維靈活.解題教學更提倡解后反思，反思思維的優化和思維的創新度，這是現代認知心理學所要求的，提高思維水平和思維監控能力的必經之路.教師的教學要讓學生的解后反思成為習慣，通過教師課堂教學的示范和引領，真正做到把提高數學核心素養落實到課堂上和學生的學習中.

3.解題教學，提升數學觀念

數學學習還有一個重要目標就是培養學生的數學觀念，讓學生會數學化地思考問題，這就要求學生深刻理解數學，掌握數學本質，灌輸式教學不能解決數學的育人問題，甚至連解題也很難有大的進步.如上述考題，其本質就是解直角三角形，而三角函數就是刻畫三角形中邊角關系的，問題的難點在于已知∠B的余弦不能直接使用，而是經過作輔助線實現角的轉移，實際上已知角的余弦，就是已知角的度數，結合已知的邊CD就容易想到把∠B轉化為∠ADC的補角，圓的作用就是實現角的轉移，這就是數學化的思考，突出轉化、化歸、聯系.培養數學觀念的另一個途徑就是數學文化的滲透.數學文化的內涵非常豐富，前文已經闡述的數學之美就可以大有作為.數學之美的類型這里不再贅述，筆者想要說明的是，數學之美不僅可以加深學生對數學知識的理解，陶冶學生的情操，更為重要的是，數學之美可以啟發學生思考，提供解決問題方法和途徑，教師一旦把數學之美和方法論聯系起來就有極其重要的學習價值.如學生在解題中從“美”的角度出發，想到“補形”，延長AD和BC則問題迎刃而解.命題者如果能夠命制出這樣數學文化味濃厚的數學試題，對中學數學教學的引領和指導價值是巨大的，對于提升學生的核心素養，對于學生數學觀念的形成都大有裨益.

解題教學不僅是讓學生學會做題，而且要讓學生提高對數學知識的理解，洞悉數學本質內涵，培養多種思維品質，進而形成正確的數學觀念，所以解題教學值得廣大數學教師深入研究.