一個(gè)重要的冪級(jí)數(shù)

胡旭東

摘要：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及難點(diǎn)內(nèi)容，找到一個(gè)突破口，以點(diǎn)帶面不失為一種尋求突破的好方法，這便是等比級(jí)數(shù) 。

關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù) ；等比級(jí)數(shù)

冪級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它在工程問題中有著較為廣泛的應(yīng)用，冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用和計(jì)算卻相對復(fù)雜，不易掌握.。找到一個(gè)突破口，以點(diǎn)帶面不失為一種尋求突破的好方法，這便是等比

級(jí)數(shù) 。以此為突破口，對研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判斷、求和等問題有獨(dú)到的作用，本文就此作簡要描述。

一、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

利用冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間 容易理解 的收斂區(qū)間為 ，進(jìn)而一步可以了知如下定理。

定理 1（柯西—阿達(dá)瑪定理） 設(shè) ，

則冪級(jí)數(shù) 在 內(nèi)絕對收斂，在 內(nèi)發(fā)散。特別地，冪級(jí)數(shù) 在 內(nèi)絕對收斂，在 發(fā)散。這說明冪級(jí)數(shù) 在研究冪級(jí)數(shù)的收斂半徑上有

著重要的作用，可以讓初學(xué)者擺脫過度抽象帶來的負(fù)面影響。

二、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)

定理2設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑是R，和函數(shù)為 ，那么（1） 在收斂域內(nèi)連續(xù)。（2）冪級(jí)數(shù)在收斂域上可積，并且可以逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)，即： ，或 ，并且積分或求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)不改變收斂半徑。

由此我們可以得到以下結(jié)論，這對于我們求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)是大有幫助的。

推論 在 時(shí)，有如下結(jié)論：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （5）

（7） （8）

（9） （10）

（11） （12）

上述變化可謂豐富多彩，對（1）兩端求導(dǎo)則生出（2），同理由（2）可以推出（3），對（1）兩端積分則有（4），將（1）到（4）中 替換成 就得到（5）至（8），把（1）（4）（5）中 替換成 則演化為（9）（10）（11），對（11）兩端積分便得（12）。如上真乃行云流水，嘆為觀止。

下面僅舉一例說明上述變換的運(yùn)用。

例、求 的和函數(shù)，其中 。

解：當(dāng) 時(shí)，次級(jí)數(shù)一致收斂且有和函數(shù)存在，設(shè)

，那么

，利用推論公式（4）可得，

綜上可見， 既是最簡單的冪級(jí)數(shù)，也是最重要的冪級(jí)數(shù)。

通過對此級(jí)數(shù)的收斂性及和函數(shù)的研究與拓展，可以對冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)起到重要作用，特別是對求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)必不可少，這是突破冪級(jí)數(shù)和函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)：

[1] 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 《數(shù)學(xué)分析》（第二版） 高等教育出版社1983年11月第二版

[2] 《高等數(shù)學(xué)》 科學(xué)出版社 2011年2月第一版