展平化直 巧求最值

■馮睿琦

將空間圖形問題轉化為平面圖形問題,是解決立體幾何問題常用的基本方法。在求空間圖形表面兩點間的最短距離時,常運用“展平變換,化曲(折)為直”,即把“折線拉成直線,曲面展成平面”,從而使問題得以巧妙解決。下面通過對兩道典型試題的求解思路進行探索來說明“展平化直”的妙處。

一、多面體的展平化直

例1 如圖1,一質點從點A出發,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的表面運動到點C1,求它經過的最短路線長。

圖1

思路探索：①題目給出了正方體的棱長,需要求的是表面上一點到另一點的最短長度,如何來求最短長度?在正方體表面上“轉來轉去”恐怕很難確定何時長度最短。但將正方體的表面展平,“化折為直”,連接AC1即得最短長度。②求最短路徑長度的方法找到了,那么如何去展平正方體的表面呢?展平表面的依據是展開后正方體表面上的線段長度不改變。展開后化異面為共面,可用“兩點之間線段最短”確定最短路線的長。從點A到達點C1要經過兩個面,共有六條途徑,將這些面展平在同一個平面上,可歸結為如圖2、圖3所示的兩種情形。通過上述的思路分析,我們就很容易求出最短路線長了。

圖2

圖3

解答過程：將點A到達點C1要經過的兩個面展平在同一個平面上,可歸結為如圖2、圖3所示的兩種情形。從中我們會發現質點運動的路線一般為兩條折線,根據“兩點之間線段最短”可知,只有沿線段AC1運動時,路線才最短,易得圖2、圖3中點A,C1間的最短距離為,即質點經過的最短路線長為。

二、旋轉體的展平化直

例2 如圖4,已知在圓錐SO中,底面半徑r=1,母線長l=4,M為母線SA上的一點,且SM=x,從點M拉一根繩子,圍繞圓錐側面轉到點A。

圖4

(1)求繩子的最短長度的平方f(x)。

(2)求繩子的最短長度的最小值和最大值。

思路探索：①題目給出的是已知底面半徑、母線長的圓錐,需要求的是圓錐側面上兩點A,M間所拉繩子的最短長度(兩點間的最短距離),如何來求最短長度?在圓錐側面上“繞來繞去”恐怕很難確定何時長度最短。如圖5,沿母線SA將圓錐的側面展開,“化曲為直”,連接AM 即為繩子的最短長度。②繩子的最短長度AM找到了,可如何用x表示它的平方呢?由圖5可以看出,只好利用△ASM了。在△ASM中,已知SA=l=4,SM=x,關鍵是求出側面展開圖——扇形的中心角∠ASA"。怎樣求出∠ASA"?這可能是許多同學犯難的地方。我們知道,扇形是圓的一部分,圓周角是360°,只要知道扇形所占圓的“份額”,扇形的中心角就能夠求出來了。這里,扇形所在的圓以圓錐母線的長SA=l=4為半徑,圓周長為C=2πl=8π,扇形的弧長(即圓錐底面圓的周長)為l"=360°=90°。 ③ 求 出 ∠ASA"=90°后,在△ASM中,由勾股定理就可以用x表示出繩子的最短長度AM的平方f(x)了。由于M為母線SA上的一點,且SM=x,所以0≤x≤4。④根據f(x)和x的范圍,利用函數知識求出f(x)的最小值和最大值,進而求出繩子的最短長度的最小值和最大值。

解答過程：(1)將圓錐的側面沿SA展開在平面上,如圖5,則該展開圖為扇形,且弧AA"的長度l"就是☉O的周長,所以l"=360°=90°。由題意知繩子的最小值為展開圖中的AM,故),所以

圖5

(2)由(1)知,當x=0時,f(x)min=02+16=16,此時繩子的最短長度的最小值為4;當x=4時,f(x)max=42+16=32,此時繩子的最短長度的最大值為42。

跟蹤練習：如圖6,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=BB1=2,∠ABC=90°,E,F分別為AA1,C1B1的中點,求沿棱柱的表面從點E到點F的最短路徑的長度。

圖6

參考答案與提示：將直三棱柱的側面、底面展開,有如圖7所示的三種情形。在圖①中,EF=;在圖②中,作EG垂直于BB1,垂足為G,;在圖③中,過E作AC的平行11線,過F作CC1的平行線,兩線交于點H,通過比較可知,點E沿平面AA1C1C過棱A1C1到點F的路徑最短,故E,F兩點間的最短路徑的長度為

圖7