空間幾何中的探索性問題的求解策略

■齊展修 胡 磊

立體幾何中的探索性問題一般都是條件開放性的探索性問題,一般采用的方法是執果索因,先猜后證的方法,即觀察與嘗試給出的條件再證明,或者假設求解的結果存在,尋找使得這個結論成立的條件,把幾何問題轉化為代數問題來解決,如果找到符合題目結果要求的條件,則存在;如果找不到符合題目要求的條件或出現了矛盾,則不存在。

一、平行中的探索性問題

例1 如圖1所示,已知菱形AECD的對角線AC,DE交于點F,點E為AB的中點。

圖1

將三角形ADE沿線段DE折起到PDE的位置,如圖2所示。

圖2

(1)證明:DE⊥平面PCF。

(2)證明:平面PBC⊥平面PCF。

(3)在線段PD,BC上是否分別存在點M,N,使得平面CFM∥平面PEN?若存在,請指出點M,N的位置,并證明;若不存在,請說明理由。

解：(1)折疊前,因為四邊形AECD為菱形,所以AC⊥DE。折疊后,DE⊥PF,DE⊥CF。

又PF∩CF=F,PF、CF?平面PCF,所以DE⊥平面PCF。

(2)因為四邊形AECD為菱形,所以DC∥AE,DC=AE。

又點E為AB的中點,所以DC∥EB且DC=EB,可知四邊形DEBC為平行四邊形,所以CB∥DE。

由(1)得DE⊥平面PCF,所以CB⊥平面PCF。又因為CB?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PCF。

(3)存在滿足條件的點M,N,且M,N分別是PD和BC的中點。

又EN、PE?平面PEN,PE∩EN=E,MF、CF?平面CFM,MF∩CF=F,所以平面CFM∥平面PEN。

本題考查線面垂直、面面垂直的證明,考查滿足條件的點的位置的確定,考查空間中的線線、線面、面面之間的位置關系等基礎知識。

二、垂直中的探索性問題

例2 如圖3所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AD=2,E,F分別為AD,AA1的中點,Q是BC上一個動點,且BQ=λQC(λ＞0)。

圖3

(1)當λ=1時,求證:平面BEF∥平面A1DQ。

(2)問是否存在正數λ,使得BD⊥FQ。若存在,請求出λ的值;若不存在,請說明理由。

解：(1)當λ=1時,Q為BC的中點。

因為E是AD的中點,所以ED=BQ,ED∥BQ,則四邊形BEDQ是平行四邊形,所以BE∥QD。

又因為BE?平面A1DQ,DQ?平面A1DQ,所以BE∥平面A1DQ。

因為F是A1A的中點,所以EF∥A1D。因為BF?平面A1DQ,A1D?平面A1DQ,所以EF∥平面A1DQ。

又因為BE∩EF=E,EF?平面BEF,BE?平面BEF,所以平面BEF∥平面A1DQ。

(2)因為A1A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以A1A⊥BD。由于BD⊥FQ,A1A、FQ?平面A1AQ,所以BD⊥平面A1AQ。

因為AQ?平面A1AQ,所以AQ⊥BD。在矩形ABCD中,由AQ⊥BD,可得△AQB∽△DBA,所以AB2=AD·BQ。

本題考查面面平行的證明,考查兩線段比值的求法,考查空間的線線、線面、面面之間的位置關系,考查空間想象能力,考查化歸與轉化思想和數形結合思想的應用。

作者單位：山東省平邑縣第一中學(西校)