探究一類“螞蟻覓捷徑”問題

■徐照武

在立體幾何的實際應用中,我們經常會遇到一類融知識性和趣味性于一體的“螞蟻覓捷徑”問題,解決這類問題的關鍵是展開空間幾何體,化立體問題為平面問題,進而運用勾股定理來解決,下面舉例說明。

題目 如圖1,一只螞蟻要從棱長為1的正方體的一個頂點A沿著表面爬到與它相距最遠的另一個頂點G。設螞蟻爬行的最短路程是d,則d2是多少?

分析：解答“螞蟻覓捷徑”問題最關鍵的是確定最短爬行路線。對于此題,有的同學可能會認為最短路程是AF+FG、AB+BG、AE+EG或AH+HG,但這些都是錯誤的。我們應該把正方體沿棱FG,GC,BC剪開,使面BCGF與面ABFE在同一個平面內,然后利用勾股定理計算A,G兩點之間的距離d。

解：把正方體沿棱FG,GC,BC剪開,使面BCGF與面ABFE在同一個平面內,如圖2所示。

圖2

由圖2可知最短路程就是Rt△ACG的斜邊AG的長(兩點之間線段最短)。

設螞蟻爬行的最短路程是d。

由勾股定理可得d2=AG2=AE2+EG2=12+22=5。

評注:本題的路線不止一條,你還能再找出來嗎?不難發現,若正方體的棱長為a,螞蟻爬行的最短路程是d,則d2=5a2。

變式1：一群螞蟻在如圖3所示的長方體ABCD-A1B1C1D1的點C1處筑了一個窩,該長方體的長,寬,高分別為AB=3,BC=4,CC1=5。一只螞蟻從點A沿長方體表面爬行回窩,螞蟻回窩有最短路線嗎?請你找出來。

圖3

提示：解答此題,可對長方體表面進行剪開鋪平求解。究竟哪條線路最短,應逐一解答再比較得出。

①把面ABB1A1與面A1B1C1D1展開成一個平面,如圖4所示。在直角三角形ABC1中,AB=3,BC1=BB1+B1C1=5+4=9,由勾股定理可得AC21=32+92=90。

圖4

②把面ABB1A1與面BCC1B1展開成一個平面,如圖5所示。在直角三角形ACC1中,CC1=5,AC=AB+BC=3+4=7,由勾股定理可得AC21=72+52=74。

圖5

③把面ABCD與面BCC1B1展開成一個平面,如圖6所示。在直角三角形AB1C1中,B1C1=4,AB1=AB+BB1=3+5=8,由勾股定理可得=82+42=80。

圖6

由于74＜80＜90,故可知圖5中的AC1是最短線路,即螞蟻可以先在面ABB1A1內由A到F,再在面BCC1B1內由F到C1。

變式2：如圖7所示,一只螞蟻繞圓柱一周從母線AB的端點A爬到B點。若圓柱的高為3π,底面半徑為2,求螞蟻爬行的最短路程。

圖7

提示：將圓柱側面沿母線AB剪開成一個平面,如圖8所示,則螞蟻沿圖8中的路線AB"爬行是最短路程。

圖8

在Rt△AA"B"中,AA"=2π×2=4π,AB=A"B"=3π,由勾股定理可得AB"=