體積學(xué)習(xí)中的三種意識(shí)

■馮克永

空間幾何體的體積問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,在高考中占有一定的比重。體積是考查空間想象力的有效載體,化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法是破解體積問(wèn)題的有效方法。下面介紹體積學(xué)習(xí)中的三種意識(shí),以供同學(xué)們參考。

一、轉(zhuǎn)化意識(shí)

當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜,有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用,或者幾何體不復(fù)雜,但條件中的已知元素彼此離散時(shí),可采用“割”“補(bǔ)”的技巧(本質(zhì)是等體積轉(zhuǎn)化法),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為易求解的幾何體的體積。

例1 求棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD的體積。

解：如圖1,將正四面體ABCD補(bǔ)成一個(gè)正方體,則正方體的棱長(zhǎng)為

圖1

故所求的體積V=V正方體-4V三棱錐=

二、交匯意識(shí)

由于體積計(jì)算融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,它因而成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系其他知識(shí)的橋梁,也為高考增添了一道亮麗的風(fēng)景線。

例2 在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi),有兩球相外切,并且又分別與正方體相切。

(1)求兩球的半徑之和。

(2)當(dāng)兩球的半徑分別是多少時(shí),兩球的體積之和最小?

解：(1)解題時(shí),可化立體圖形為平面圖形求解。如圖2所示,長(zhǎng)方形ABCD為過(guò)球心的對(duì)角面,其中AB=1,AC=3。

圖2

設(shè)兩球的半徑分別為R,r,則R+

(2)設(shè)兩球的體積之和為V,則

三、應(yīng)用意識(shí)

學(xué)以致用,用以促學(xué)。同學(xué)們只有具有了應(yīng)用意識(shí),才能為知識(shí)的應(yīng)用找到生長(zhǎng)點(diǎn),也才有可能進(jìn)一步探索其應(yīng)用價(jià)值。

例3 已知正方體ABCD-A"B"C"D"的棱長(zhǎng)為1,求直線DA"與AC之間的距離。

圖3

解：解題時(shí)直接尋找公垂線段較難,因此可轉(zhuǎn)化為求平行直線與平面之間的距離。

因?yàn)锳C∥面A"C"D,所以直線DA"與AC之間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到面A"C"D之間的距離,設(shè)其距離為h。由VA-A"C"D=VC"-A"AD,可得