三視圖問(wèn)題中的題型例析

■趙梓印

空間幾何體的三視圖和直觀圖是新課標(biāo)教材中的新增內(nèi)容,也是高考考查的熱點(diǎn),考題類型常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),常見題型有:圖形判斷問(wèn)題,求面積問(wèn)題,求三視圖中的未知量問(wèn)題等。

題型一：判斷正視圖

例1 已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖1所示,其中俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為( )。

解：空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖滿足“高平齊”,可知正視圖的高一定是2;正視圖和俯視圖滿足“長(zhǎng)相等”,可知正視圖的底面邊長(zhǎng)為2。根據(jù)側(cè)視圖中的直角說(shuō)明這個(gè)空間幾何體最前面的面垂直于底面,這個(gè)面遮住了后面的一個(gè)側(cè)棱。應(yīng)選C。

空間幾何體的三視圖是從正面、側(cè)面、上面三個(gè)方向?qū)σ粋€(gè)幾何體的全方位透視。一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖的高度一樣,正視圖和俯視圖的長(zhǎng)度一樣,俯視圖和側(cè)視圖的寬度一樣。

題型二：根據(jù)三視圖求幾何體的側(cè)面積

例2 《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”。已知某“塹堵”的三視圖如圖2所示,則該“塹堵”的表面積為____。

圖2

解：由三視圖知,該幾何體是底面為等腰直角三角形(斜邊的邊長(zhǎng)為2)、高為2的直三棱柱,所以該幾何體的表面積為2×2+

解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖所提供的圖形信息,弄清楚幾何體的形狀和有關(guān)數(shù)據(jù),然后求出其表面積。

題型三：求三視圖中的未知量

例3 圖3是一個(gè)體積為10的空間幾何體的三視圖,求圖中x的值。

圖3

解：由三視圖可知,該幾何體對(duì)應(yīng)的直觀圖是一個(gè)長(zhǎng)方體和四棱錐的組合體,所以該幾何體的體積V=3×2×1+×3×2×x=10,解得x=2。

解題時(shí)要注意題中的x是四棱錐的高,而不是斜高。