精選 細讀 深究 善聯
——基于數學名題研讀的小學生思維訓練研究

（義烏復旦實驗學校 浙江義烏 322000）

一、問題的提出與分析

1. 提升思維品質，教學永恒的主題

從歷史來看，人類很早就意識到思維訓練的重要性，無論是蘇格拉底的“頭腦助產術”，還是亞里士多德的“思維工具說”都代表了先賢們對思維訓練的一種不懈探索和研究。近代，當創新學在工商界蓬勃興起的時候，思維訓練迎來了它的真正黃金發展期，大量的思維研究新成果不斷涌現，無數的思維方法和技巧被應用于企業產品創新和管理創新之中，進而也帶動了學校和教育界對思維訓練的重視與引進。[1]

2. 思維影響質量，實證數據的證明

《2011版數學課程標準》強調：數學思維訓練是數學教學的重要內容，數學課堂要重視學生的思維訓練。右上表是浙江省教育廳評價部方張松主任提供的可靠權威的實證數據，可知：高品質思維對教學質量提升關系最大。[2]

3. 面對現實課堂，存在突出的問題

當前的數學教學行為以及評價方式體系，依然更多的是關注學生學習的數學知識，學生思維培養存在嚴重的問題：

（1）教師過度的導學，降低學生思考力，教師的過度引導縮短了學生的思維過程，學生參與學習的思維程度明顯不夠。從上海2012年的PISA檢測情況看，我國學生解決需較長時間獨立思考的大問題比較薄弱。這跟課堂上長期開展小步子教學有很大的關系。

（2）學生思維的隱形，加大思維模糊度，學生思維品質的提升，不是一朝一夕的事，是一個長期積累的過程。每次訓練的效果不能立竿見影，所以容易被忽視。正因為抽象的思維隱形于學生的學習活動中，教師不能準確把握學生思維動態，對學生的思維訓練研究也常處于模糊的狀態之中。

然而，主題式的經典數學名題往往是個大問題，能讓學生進入探究之中……數學名題是數學發展史中有一定的歷史故事與情節，有數學著作記載或民間流傳的有代表性的數學問題。如雞兔同籠、李白喝酒、以碗知僧、百錢白雞、韓信點兵……都是我國古代的數學名題。本課題研讀的名題包括這些問題及所蘊含的文化思想、解決方法策略等相關內容。數學題之所以能成為名題 ，大多數是因富含哲理且寓于生活之中，讀之妙趣橫生而又回味無窮 ，很多名題都是小學生所喜聞樂見的。

由此我們提出了：“基于數學名題研讀的小學生思維品質培養研究”。

二、解決的思路與實施

本課題研究思路是“精選—細讀—深究—善聯”。具體地說，是以“數學名題研讀”為活動載體，閱讀文獻收集名題，并依據數學文化、數學思想、策略等要素，篩選出一部分典型的、有文化底蘊的、適合小學生探究的數學名題素材。以“導學單”為載體，組織學生開展獨立閱讀，伙伴同讀、教師導讀等形式的研讀。為學生創設一個可以像數學家那樣“想”的空間。（即：面對現實問題時，以分析和抽取其中的本質特征為手段，以構造數量關系和空間形式為目標的過程。）學會運用抽象、概括、歸納、演繹、轉化、分類、類比、特殊化、一般化、方程等思想方法去發現提出問題和分析解決問題。同伴之間展學，呈現真正經歷“數學化”和“再創造”的過程。并及時進行舉一反三，觸類旁通，最終實現積累豐富而深刻的數學思想，提升思維品質的研究目標。[3]

1. 精選：精心挑選，制作微課

我們遵守選題原則，從這三個途徑精選:

（1）用好教材內的經典題目；

（2）挖掘教材內的拓展題材；

（3）收集教材外的數學名題。并制作數學名題微課。

2. 細讀：細心研讀，思維顯形

語言是思維的外殼。在課堂上，讓學生通過說題，促進學生主動理解題意。在同伴交流中學會傾聽不同的聲音，大膽質疑，提出不同觀點，討論爭辯。同時通過一些具體的辦法讓抽象的思維顯形，如：圖表法、操作法等將內部思維轉化為外部動作，讓隱形的思維被看見。

3. 深究：深入探究，積累策略

引導學生運用高階思維（分析，綜合，創造）的方法：比較法，分類法，歸納法，推理法，歸錯法，概括法，提觀點，找論據，增強思維的深刻性、靈活性、敏捷性、批判性和獨創性。很多數學名題能體現某種策略的優勢。如《李白喝酒》的倒推策略、《百錢白雞》中的替換策略、《雞兔同籠》中的假設策略……通過數學名題的探索分析，找出解決問題的有效方法策略，積累一系列思維策略，量變達到質變，提升學生思維品質。[4]

4. 善聯：一單三環，舉一反三

一課一名題，這樣的課堂有大量的時間讓學生進行有效探究。根據小學生的年齡特點和認知能力，我們采用“一單三環”學導課堂：

導學單是指一種讓學生“跳一跳，摘桃吃”的試學學習單，“導學單”是教師根據課程標準要求、學生認知水平、認知規律編寫的供學生使用的書面學習新知重難點的單子，是指導學生自主學習、主動參與合作探究的“路線圖”，是幫助學生自主攀登學習高峰的“腳手架”。即學生能自己解決的問題讓他們自己解決，解決不了的就放到小組中解決，實在是有困難的就讓我們大家一起解決。剔除已知的知識，解決未知的知識，這樣做既可以節省時間，也能真正體現課堂中“以學為中心”的學生主體地位。導學單是展示學生思維過程和成果的平臺。

第一環節是研讀。引導小學生依托“導學單”進行自主研讀數學名題。

第二環節：展學。讓學生以小先生身份展示并讓傾聽者質疑，進行有效辨析。思維本身就是很無形的感覺，如果老師們能在實施過程中化無形為有形，勢必會讓學生的思維增量。如五年級的“雞兔同籠”圖1：通過教師的表格數據比對，調整過程用箭頭顯現，學生調整的過程一目了然，理解起來顯然輕松。兩步列表法發展到算術法只差臨門一腳，因此通過兩步列表法理解過程，算術法來總結思維過程就水到渠成了。

通過一些具體的辦法讓抽象的思維顯形，如：表述法、圖表法、操作法等將內部思維轉化為外部動作。在同伴交流中感悟。學會傾聽不同的聲音，大膽質疑，提出不同觀點，討論爭辯。在自主學習、同伴交流、質疑思辨的過程中提升學生的思維品質。

第三環節：勾連。三、四、五年級的課堂中呈現了大量的素材，幫助孩子們舉一反三建立雞兔同籠的模型，如：日本的龜鶴算、三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問題都屬于雞兔同籠模型下的思維拓展。學生面對“日本的龜鶴算、三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問題”，引導他們給“雞兔同籠”重新取名。到了六年級下冊進行問題解決策略總復習時，老師巧妙的點撥，適時的追問，讓學生一次次跳出那只有形的“籠子”，超越各種具體的解題方法，上升為一種更具有普適性的思想方法與策略——假設，從而建構起解決這類問題的更具有一般性的“數學模型”，通過方法遷移會一題通一類。如圖2：

因為，數學是一門關于“模式”的科學，探究的是解決某類問題的“通則通法”。[5]

三、研究的成效與思考

1. 形成了系列化的有思考價值的數學名題素材

品讀經典，豐厚人生。我們全體師生通過大量閱讀數學名題，評比后篩選出了經典名題。我們課題組利用休息時間制作數學名題微課，放在“浙江省網絡工作室”供廣大師生自主學習、探討，點擊率高達幾萬人次，深受大家的喜歡和好評。

2. 構建了數學名題學導課堂范式的教學新生態

我們工作室經過一年多的學導課堂實踐與反思，逐漸形成“一單三環”的數學名題學導課堂：整節課依托“導學單”，第一環節是研讀。喚醒學生生活經驗，對接學生學習邏輯，引導小學生進行自主研讀數學名題；第二環節是展學。小組合作展學，質疑辨析，概括總結；第三環節是勾連。引導學生串聯類似數學問題，一以貫之，舉一反三，觸類旁通，并能拓展延伸。構建基于數學名題的學導課堂模式，形成“思維金三角”，有利于形成良好的認知結構。

3. 看到了“數學名題興趣班”一些驚喜的現象

經過一年多的數學名題研讀，我們感悟到：數學名題不是讓學生回憶學到了哪些知識，而是促使學生運用所學知識解決實際生活中的現實問題，并去發現、創新。與目前的PISA題目是一脈相承的。

用PISA部分數學樣題來檢測“數學名題興趣班”學生的學習效果，雖然不是很準確，但從中可以獲取一些驚喜的現象。我們用PISA檢測部分樣題（詳見附件）對參加數學名題賞析的義烏復旦實驗學校六（1）班30名學生進行獨立檢測。數學名題興趣班與基礎差不多但沒有參加數學名題拓展興趣班的學生比較，結果數學名題拓展興趣班學生運用所學數學知識解決實際應用問題能力比沒有參加數學名題拓展興趣班學生要強一些。

從以上復式統計圖直觀看出，在普通試卷成績差不多的情況下，參加數學名題拓展研讀的學生解決PISA樣題的能力要比沒參加數學名題研讀的學生強得多。

4. 弘揚了中外古代數學歷史文化的精華

以數學名題為載體，適當介紹有關的背景知識，幫助學生感悟深厚的數學文化，體會數學在人類發展史中的作用。人文素養是學生的核心素養之一。學生通過數學經典趣題的閱讀，了解數學發展的歷史，滲透數學文化。數學是人類的一種文化，數學名題具有獨特的文化價值。師生感受到了古人的聰明智慧，增強民族的自豪感。我們學習中國古代名題《聰明人和有錢人 》和古代印度的《棋盤放米問題》數學名題，可以讓學生從多方面感受數學的魅力，從而喜歡數學、熱愛數學。

圖2 參加與未參加數學名題興趣班PISA樣題檢測成績復式條形統計圖表

5. 實現了課題成果較好的應用與推廣

數學名題思維金三角的學導課堂在省內多次研討課交流并推廣，深受廣大師生的喜歡。

（1）學生喜歡上數學名題賞析興趣拓展課，增強了思維力

本課程以“數學名題研讀”為活動載體，組織對數學名題感興趣的學生開展獨立閱讀，伙伴同讀、教師導讀等形式的研讀。為學生創設一個可以像數學家那樣“想”的空間，真正經歷“數學化”和“再創造”的過程。最終實現積累豐富而深刻的數學思想，提升思維品質的研究目標。數學成績不是最重要的，可貴的是學生對數學名題充滿興趣。 興趣是最好的老師。參加數學名題拓展興趣班學生會主動抽時間做“數獨”，玩“魔方”，解“九連環”，樂此不疲。

（2）工作室老師喜歡上數學名題的研討課，提高了指導力

近兩年，工作室成員喜歡上數學名題的研討課，如在3、4、5、6不同年級各上了4節《雞兔同籠》，三年級的畫圖法、四年級的列表法、五年級的算術法和六年級解題策略綜合復習法，深深吸引著與會者的眼球。

教學中，我們不僅要關注孩子是否“會做”，還要關注孩子是否“會說”。要求孩子在經歷的基礎上，把想法用自己的語言表達出來。經常這樣訓練孩子有條理地說思路，使孩子形成見題就想，想好了就說的好習慣，會更加有效地培養學生的思維能力和語言表達能力。

（3）課題成果得到較好的提煉和推廣，提高了宣傳力

數學名題的研讀，提高了教師的反思能力和思維能力，很多老師發表了與課題相關的論文，由組長執筆的本課題代表性論文《基于數學名題的思維課堂實踐研究》發表在今年第6期的《遼寧教育》上，拋磚引玉。

本課題研究過程中，發現有些數學名題雖然題材不錯，但遠離目前學生的生活實際，這給學生理解題意帶來一定的難度。因此，我們計劃在后續研究中，對一些數學名題進行適當的改編，多設計一些類似PISA的題目，既能比較貼近學生的生活實際，又能在一個比較大的數學問題空間中探索，研究。接下來，我們試圖“探究小學數學名題準PISA題的設計與實施”，努力喚醒學生生活經驗，對接學生學習邏輯。繼續引領學生探究在數學名題的道路上！