淺析立體幾何中的一類動截面問題

■江西省南昌市第三中學 張金生(正高級教師、特級教師)

立體幾何試題通常考查點、線、面的位置關系,距離與角的計算,球與多面體的接切,多面體的截面等問題。多面體的截面問題是高考的熱點問題,主要考查截面形狀的判斷,截面的周長或面積,與截面有關的空間角、距離、位置關系等問題。這類問題的一個難點就是如何準確地作出截面,學會截面的作法,對加深空間中點、線、面的位置關系的理解,提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,提升直觀想象、數學建模等核心素養,都有不可忽視的作用。本文通過研究幾個有關動截面的試題,力求能幫助同學們攻克這類問題。

例1如圖1,已知四面體ABCD為正四面體,AB=1,E,F分別是AD,BC的中點。若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積的最大值為( )。

解析：如圖2,將四面體補形為正方體,點F,E分別為上下底面的中心,直線EF垂直截面MNKL,則截面MNKL與正方體的上下底面平行,由面面平行性質定理知MN∥BC∥KL,NK∥AD∥ML,所以截面MNKL為矩形。如圖3,將平面ABC與平面ABD展開在一個平面上,KL+LM=BC=1,截面周長為定值,所以S=KL·LM≤。故選A。

圖2

圖3

評注:當題目中有切割或折疊時,同學們就應該想到補形或展開,這是解決這類問題的通法。高考試題中那些組合體及非規則幾何體問題,需要用割補思想來靈活求解。

例2在正方體ABCD-A'B'C'D'中,任作平面α與對角線AC'垂直,使得α與正方體的每個面都有公共點,記這樣得到的截面多邊形的面積為S,周長為l,則( )。

A.S為定值,l不為定值

B.S不為定值,l為定值

C.S與l均為定值

D.S與l均不為定值

解析：如圖4,將正方體切去兩個正三棱錐A-A'BD與C'-D'B'C后,得到一個以平行平面A'BD與D'B'C為上、下底面的幾何體V,V的每個側面都是等腰直角三角形,截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行,將V的側面沿棱A'B'剪開,展開在一個平面上,得到一個如圖5 所示的平行四邊形A'B'B1A1。而多邊形W的周界展開后便成為一條與A'A1平行的線段,如圖5中的E'E1,顯然E'E1=A'A1,故l為定值。當E'為A'B'的中點時,多邊形W為正六邊形;當E'移至A'處時,W為正三角形。易知周長為定值l的正六邊形與正三角形的面積分別為,所以S不為定值。故選B。

圖4

圖5

評注:該題與例1 一樣,截面周長為定值,面積在變化有最大值,對直觀想象要求高,同學們可以動手做個模型更便于理解。

例3已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為( )。

解析：如圖6 所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AB1D1與棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方體的其余棱都分別與A1A,A1B1,A1D1平行,故正方體的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角相等。取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD的中點分別為E,F,G,H,M,N,則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大,此截面面積為S正六邊形EFGHMN=6×。故選A。

圖6

截面問題本是個難點,加上運動變化后更是許多同學的痛點,“動”與“靜”是事物的兩個方面,深入挖掘幾何體結構的本質特征,從直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等視角探索研究空間圖形的性質,在動的表象下探尋運動過程中“靜”的一面,動中求靜,以靜制動,克難制勝。