基本不等式應用的常見技巧策略

■徐州中學 孫 慧

基本不等式及其應用是不等式模塊中的一個重要知識點,也是高考中直接應用或間接應用的一個重要考查點與工具,在眾多的數學知識與相關內容中都有基本不等式的影子。利用基本不等式解決問題時,需要注意“一正,二定,三相等”這三個基本條件,這是應用基本不等式的關鍵所在。本文結合基本不等式應用中的常見技巧策略加以實例剖析,引領并指導數學學習與解題研究,起到拋磚引玉的作用。

一、常量巧引入,配湊法應用

配湊法的目的就是構建適合基本不等式應用的基本條件——“和為定值”或“積為定值”的形式,借助對應代數式的恒等變形與轉化,通過添加項、拆分項等技巧方法,進而利用基本不等式來解決問題。常見的配湊法就是對相應的代數式進行配系數、湊常數等變形處理。

點評:配湊法的根本目的就是合理創設應用基本不等式的條件,創設“積為定值”或“和為定值”這一前提條件,這就需要對題設條件或所求結論的關系式進行一些必要的配湊處理,配系數、湊常數等技巧方法經常是借助因式分解、平方處理、增減常數等方式來達到目的,實現利用基本不等式來解決問題的目的。

二、乘“1”后變形,代換法應用

代換法就是利用常數的變形,以及代數式與“1”的積、商都是自身的性質,通過代數式的變形構造出滿足“和為定值”或“積為定值”的基本形式,符合基本不等式的應用條件。代換法的本質就是常數與參數之間的靈活變形與轉化,常數化成“1”是代數式等價變形的基礎。

例2已知x＞0,y＞0,且滿足x+2y=3xy,則2x+y的最小值為_____。

點評:代換法應用的根本就是通過常數與關系式之間的等價關系加以合理代換處理,具體代換時,可以是乘“1”后變形,也可是乘以其他常數進行處理,特別要注意乘常數后要加以同除處理,保證代數關系式的恒等變形。

三、雙變元首選,消元法應用

消元法就是用來解決一些比較復雜的多變元的代數式最值問題,借助題設條件,合理減少變量的個數,經常是轉化為只含有一個變量的代數式,進而利用基本不等式來分析與應用。消元法的實質就是減元,將多變元問題轉化為單變元問題來處理。

例3已知x＞0,y＞0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為____。

點評:消元法的根本目的就是減少變量的個數,方便配湊出“和為常數”或“積為常數”的基本形式,為基本不等式的應用指明方向,從而更加直觀有效地利用基本不等式來分析與求解最值。

四、多層次推進,分步法應用

分步法就是用來解決一些比較復雜的多變元(一般是三變元及以上)的代數式最值問題,結合分步法處理,分層次合理加以逐步消元,不斷減少變量的個數,進而吻合基本不等式應用的條件,從而得以求解最值。分步法的實質就是逐步消元,注意在多次利用基本不等式時,要保證等號成立時條件的一致性。

點評:分步法就是綜合應用配湊法、換元法或消元法等,通過兩次及以上的基本不等式的應用來分析與求解對應復雜代數式的最值問題。注意在多次利用基本不等式進行分步時,要注意每步中取等號的條件的前后一致性,不能出現前后矛盾,這也是分步法中比較容易出錯的地方。

在實際應用基本不等式來解決問題時,抓住基本不等式應用的三個基本條件,或配湊法應用,或代換法處理,或消元法解決,或分步法應用等,掌握解決問題的“通技通法”,舉一反三,融會貫通,從而進一步養成良好的思維習慣,提升數學能力,更好地借助基本不等式來解決相應的數學問題。