不等式解法及證明復習策略

■江西省南昌市第三中學 劉紅坤 杜 寬

歷年高考中,不等式模塊主要考查絕對值不等式的解法、絕對值三角不等式和不等式證明等。將不等式融合到其他試題中,突出了不等式的工具性,淡化了其獨立性。下面我們對該模塊進行分析,來理解不等式的本質,熟悉不同問題的處理策略,積累不同題型的解題經驗與技巧,感悟其中蘊含的思想方法,進一步提高解題效率。

一、不等式的主要題型

1.含絕對值不等式的解法

評注:去掉絕對值的方法一般有以下幾種:(1)抓零點分區間討論;(2)平方法:利用|f(x)|＞|g(x)|?f2(x)＞g2(x)去絕對值;(3)幾何法:利用絕對值的幾何意義求解;(4)數形結合法:在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數的圖像,利用函數圖像求解。

2.絕對值三角不等式的應用

例2已知函數f(x)=|x-a|+|x+3|。

(1)當a=1時,解不等式f(x)≥6;

(2)若f(x)＞-a,求a的取值范圍。

解析：(1)當a=1時,f(x)=|x-1|+|x+3|。

若x≤-3,則f(x)=-2x-2≥6的解為x≤-4;

若-3＜x≤1,則f(x)=4≥6無解;若x＞1,則f(x)=2x+2≥6 的解為x≥2。

綜上可得,不等式f(x)≥6 的解集為{x|x≤-4或x≥2}。

(2)依題意f(x)＞-a,即|x-a|+|x+3|＞-a恒成立。

因為|x-a|+|x+3|=|a-x|+|x+3|≥|a+3|,當且僅當(a-x)(x+3)≥0時取等號,所以f(x)min=|a+3|,故|a+3|＞-a,解得。

所以a的取值范圍是。

評注:運用“f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a”可解決恒成立中的參數取值范圍問題。

3.不等式的證明

評注:證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的基本方法。要依據題目的結構特點和內在聯系進行適當變形,創造條件使用重要不等式、基本不等式、柯西不等式、權方和不等式等去證明,要熟悉各種證法中的推理思維方法,并掌握相應的步驟、技巧和語言特點。

4.解絕對值不等式與證明不等式的綜合

例4已知關于x的不等式|2x|+|2x-1|≤m有解。

(1)求實數m的取值范圍;

(2)若a＞0,b＞0,a+b=1,證明:。

解析：(1)因為|2x|+|2x-1|≥|2x-(2x-1)|=1,當且僅當2x(2x-1)≤0,即時取等號,所以m≥1。

故實數m的取值范圍為[1,+∞)。

(2)由題意知a+b=1,又因為(a+2b+2a+b)≥(a+b)2,所以。

評注:含絕對值不等式恒成立問題、存在性問題、有解問題是高考中的熱門題型。該類題型常轉化為求不等式的最值問題。在應用柯西不等式時,要注意等號成立的條件,柯西不等式在排列上規律明顯,具有簡潔、對稱的美感,運用柯西不等式時,要“一觀察、二構造、三判斷、四運用”。

二、不等式試題中的數學思想

例5(2023 年全國甲卷第23 題)已知a＞0,函數f(x)=2|x-a|-a。

(1)求不等式f(x)＜x的解集;

(2)若曲線y=f(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求a。

解析：(1)當x≤a時,f(x)=2a-2xa＜x,即3x＞a,解得;

當x＞a時,f(x)=2x-2a-a＜x,解得x＜3a,即a＜x＜3a。

(2)結合分段函數知f(x)=畫出f(x)的草圖,如圖1所示,則f(x)與x軸圍成△ABC,△ABC的高為a,,所以|AB|=a,所以,解得a=2。

圖1

評注:本題將含有絕對值的函數先表示成分段函數的形式,綜合運用數形結合、分類討論的數學思想解決問題。

在復習過程中,我們要對知識方法、數學思想歸納整理,追本溯源,提煉出通性通法所涉及的數學思想,提高運算求解能力、變形能力、數形結合能力、邏輯推理能力等,并在具體問題情境中能夠加以“靈活”“綜合”運用,從而提升數學素養。