探究性創設情境,存在性問題解決
——圓錐曲線

■福建省尤溪第一中學 周 平

探究性問題是一種古老的題型,對被測試對象的潛能及創新能力的考查具有獨特之處,雖歷經滄桑,但經久不衰,是試題類型的一顆常青樹;無論是何種類型、何種層次的考試,探究性問題總是備受命題者的青睞。圓錐曲線中的探究性問題經常以點的存在性、直線的存在性及參數的存在性等方式創新設置,借助是否存在的判斷來考查。解決的方法往往是把探究性問題轉化為直線與圓錐曲線的位置關系等,再加以巧妙地轉化與應用。

一、點的存在性問題

例1已知雙曲線0,b＞0)的離心率為,點A(6,4)在雙曲線C上。

(1)求雙曲線C的標準方程。

(2)已知過點B(1,0)的直線l與雙曲線C交于D,E兩點,試問:在x軸上是否存在定點P,使得為常數? 若存在,求出點P的坐標及該常數的值;若不存在,請說明理由。

點評:在處理此類點的存在性探究問題時,經常是借助題設條件設出該點的坐標,假設所探究的問題存在,進而將該點的坐標作為“已知”代入題設條件中去推理、去運算,如果推理或運算的結果得到的是一個確定的答案,這就說明假設成立,由此作出正面的回答;如果推理或運算的結果得到的是一個矛盾的結果,這就說明假設不成立,由此作出反面的回答。結合題中信息,通過點的結構特征,合理設出點的坐標是解題的關鍵所在。

二、直線的存在性問題

例2已知雙曲線Γ。

解析：(1)由,又a2+b2=c2,得b2=4,所以b=2。

因為a=1,所以雙曲線Γ的頂點坐標為(±1,0),漸近線方程為y=±2x。

假設存在被點M(1,1)平分的弦,設弦的兩個端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=2。

因為A,B在雙曲線Γ上,所以=1,兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)=。

代入雙曲線Γ的方程得20x2-40x+21=0,因為Δ=402-4×20×21=-80＜0,故AB與雙曲線Γ無交點,假設不成立。

故不存在被點M(1,1)平分的弦。

點評:在解決一些圓錐曲線中的探究性問題時,對于結論不存在的探究,往往可以假設其結論的存在性,通過合理的邏輯推理與數學運算,產生一些矛盾的結果,進而判斷結論不存在。以上問題中利用滿足條件的弦所在的直線與雙曲線沒有交點,由此可以判斷滿足條件的弦不存在。

三、參數的存在性問題

例3已知F1,F2分別是雙曲線C:的左焦點和右焦點,A(-1,0)是左頂點,且雙曲線C的離心率e=2。設過右焦點F2的直線l與雙曲線C的右支交于P,Q兩點,其中點P位于第一象限。

(1)求雙曲線C的方程。

(2)是否存在常數λ,使得∠AF2P=λ∠PAF2恒成立? 若存在,求出常數λ的值;若不存在,請說明理由。

解析：(1)由題意知a=1,因為2,所以c=2。

由a2+b2=c2,可得,所以雙曲線C的方程為。

(2)當直線l的方程為x=2,即直線l的斜率不存在時,解得P(2,3),數形結合可知此時△AF2P為等腰直角三角形,其中,即∠AF2P=2∠PAF2,所以λ=2。

下面證明:關系式∠AF2P=2∠PAF2對直線l的斜率存在時的情形也成立。

所以存在λ=2,使得∠AF2P=λ∠PAF2恒成立。

點評:在解決此類探究性問題時,經常要借助探究方向的轉化來確定目的,其主要是將所探究的問題轉化為其他明確的問題,使所探究的問題更加具體、易求。特別地,在圓錐曲線問題中,對于角度、垂直等相關問題的探究,一般可以轉化為直線的斜率、向量的數量積等情況來研究。

其實,涉及圓錐曲線中的探究性問題,經常有肯定型、否定型、探索型等,形式各樣,探究的本質不變。對于圓錐曲線中的探究性問題,往往可以根據相關的類型加以轉化,借助相關元素的存在性加以化歸,利用圓錐曲線的相關知識及曲線間的位置關系等來加以解決。