“不等式及其解法、線性規(guī)劃、空間幾何、解析幾何”

■安徽省六安二中 陶興紅

一、選擇題

1.若直線l1:x+(1+m)y=2-m,l2:2mx+4y+16=0互相垂直,則實(shí)數(shù)m的值為( )。

A.1或-2 B.-2

2.不等式(x-2)(2x-3)＜0的解集是( )。

A.a1a2=b1b2

B.a2b1=2a1b2

C.a1+a2=b1+b2

D.2a1+2a2=b1+b2

5.設(shè)正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則的值為( )。

A.0≤a≤2

B.0＜a＜2

7.設(shè)x,y均為正數(shù)且2x+5y=20,則的最大值為( )。

A.1 B.2 C.10 D.20

8.如圖1所示,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則( )。

圖1

A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,存在EF∥BC1

B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,不存在B1M⊥AE

C.四面體EMAC的體積為定值

D.四面體FA1C1B的體積不為定值

9.在平面直角坐標(biāo)系中,一條雙曲線經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或平移所產(chǎn)生的一系列雙曲線都具有相同的離心率和焦距,稱它們?yōu)橐唤M“共性雙曲線”。例如,將等軸雙曲線x2-y2=2繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)45°,就會(huì)得到它的一條“共性雙曲線”。根據(jù)以上材料可推理得出雙曲線的焦距為( )。

10.如圖2所示,已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,F為線段BC1的中點(diǎn),E為線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是( )。

圖2

A.存在點(diǎn)E,使EF∥BD

B.三棱錐B1-ACE的體積隨動(dòng)點(diǎn)E的變化而變化

C.直線EF與AD1所成的角不可能等于60°

D.存在點(diǎn)E,使EF⊥平面AB1C1D

11.某幾何體的三視圖如圖3 所示,其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為( )。

C.4π

D.8π

圖3

12.已知正數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=1,則的最小值為( )。

A.3

C.4

13.(多選)已知a＞0,b＞0,a2+b2-ab=2,則下列不等式恒成立的是( )。

B.ab≤2

D.a2+b2≥4

14.(多選)已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4,直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn),則( )。

A.m=1

B.p=4

C.直線l的方程為y=2x-4

D.|AB|=5

二、填空題

17.若不等式mx2+4mx-4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___。

18.已知在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,用與直線PA、BD都平行的平面截此四棱錐,截面與AB、AD、PD、PC、PB分別交于F、G、H、M、E,則截面EFGHM面積的最大值為_(kāi)___。

19.已知直線l1:2x+y-6=0 和點(diǎn)A(1,-1),直線l2過(guò)點(diǎn)A且與直線l1相交于B,|AB|=5,則直線l2的方程為_(kāi)___。

20.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0(a,b,c∈R)的解集為{x|3＜x＜4},則的取值范圍為_(kāi)___。

21.設(shè)M,N,P分別是棱長(zhǎng)為2 的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD,C1D1,A1B1的中點(diǎn),R為BD上一點(diǎn),且R不與D重合,且M,N,P,R在同一個(gè)表面積為S的球面上,記三棱錐N-MPR的體積為V,則的最小值是____。

22.如圖4 所示,在正四棱錐P-ABCD中,,AB=2,從點(diǎn)A拉一條細(xì)繩繞過(guò)側(cè)棱PB和PC到達(dá)D點(diǎn),則細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為_(kāi)____。

圖4

23.下列命題正確的是_____。(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))

①命題“若a+b=0,則a=5且b=-5”的否定是“若a+b≠0,則a≠5且b≠-5”。

②已知函數(shù)f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則4是f(x)一個(gè)周期。

③平面α⊥β,α∩β=l,過(guò)α內(nèi)一點(diǎn)A作l的垂線m,則m⊥β。

④在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則a,b,c成等差數(shù)列。

三、解答題

24.已知直線l:(2m-3)x+(m-1)y+4-2m=0(m∈R),圓C:x2+y2-6x+5=0。

(1)證明:直線l恒過(guò)定點(diǎn)。

(2)當(dāng)直線l與圓C相切時(shí),求m的值。

(1)求橢圓E的方程。

(2)若在橢圓E上的任一點(diǎn)N(x0,y0)處的切線方程是,求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C,并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)。

(3)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|恒成立(C為直線AB恒過(guò)的定點(diǎn))? 若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

26.如圖5 所示,已知四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=2,F為PC的中點(diǎn)。

圖5

(1)證明:PA∥平面BDF;

(2)證明:平面PAC⊥平面BDF;

(3)求三棱錐P-BDF的體積。

27.已知不等式mx2-2x-m+1＜0。

(1)若對(duì)所有的實(shí)數(shù)x使得不等式恒成立,求m的取值范圍;

(2)設(shè)不等式對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范圍。

28.如圖6所示,在幾何體ABCDEGF中,四邊形ABCD為菱形,AG∥BF∥DE。

圖6

(1)證明:GF∥平面EDC;

(2)若BF=DE=2AG=4,AB=4,,AG⊥平面ABCD,求二面角G-EF-C的余弦值。

29.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P(x0,y0)(y0≠0)是橢圓C上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線的方程為。

(1)求橢圓C的離心率;

(2)當(dāng)λ=1時(shí),設(shè)直線l與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),求△OAB面積的最小值;

(3)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)Q與點(diǎn)F1關(guān)于直線l對(duì)稱,求證:Q,P,F2三點(diǎn)共線。

30.如圖7 所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且PA⊥平面ABCD。

圖7

(1)求證:PC⊥BD。

(2)過(guò)直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點(diǎn)E,當(dāng)三棱錐EBCD的體積取到最大值時(shí),求:

①PA的長(zhǎng)度;

②二面角A-DE-B的余弦值的大小。

參考答案：

一、選擇題

1.D 2.C 3.A 4.A 5.A 6.D

7.A 8.C 9.C 10.D 11.C 12.C

13.BC 14.BC

二、填空題

23.②④

三、解答題

24.(1)將直線l的方程整理得(2x+y-2)m+(-3x-y+4)=0。

(2)將圓C的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,所以圓C的圓心為(3,0),半徑為2。

因?yàn)橹本€l與圓C相切,所以圓心C到直線l的距離等于半徑。

26.(1)如圖8,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OF。因?yàn)镕為PC的中點(diǎn),所以O(shè)F為△PAC的中位線,所以O(shè)F∥PA。又因?yàn)镺F?平面BDF,PA?平面BDF,所以PA∥平面BDF。

圖8

(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PA⊥AC。因?yàn)镕為PC的中點(diǎn),所以O(shè)F∥PA,所以O(shè)F⊥AC。因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以AC⊥BD。又OF∩BD=O,所以AC⊥平面BDF。因?yàn)锳C?平面PAC,所以平面PAC⊥平面BDF。

27.(1)當(dāng)m=0時(shí),-2x+1＜0,對(duì)所有的x不恒成立。

當(dāng)m≠0時(shí),設(shè)f(x)=mx2-2x-m+1,若f(x)＜0對(duì)所有的實(shí)數(shù)x恒成立,則需二次函數(shù)y=f(x)的圖像全在x軸的下方,所以m＜0,且Δ=4-4m(1-m)＜0,無(wú)解。

綜上可得,不存在這樣的m,使得不等式mx2-2x-m+1＜0恒成立。

28.(1)因?yàn)锳G∥DE,AG?平面EDC,DE?平面EDC,所以AG∥平面EDC。因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AB∥DC。同理可得AB∥平面EDC。又因?yàn)锳B∩AG=A,所以平面ABFG∥平面DCE。因?yàn)镚F?平面ABFG,所以GF∥平面EDC。

(2)連接AC,BD相交于點(diǎn)О,以O(shè)A,OB分別為x軸,y軸,建立如圖9所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz。

圖9

由圖知二面角G-EF-C的平面角為鈍角,所以其余弦值為。

①若x0=0,則P(0,λ),Q(-λ,2λ),此時(shí)kF2P=-1,kF2Q=-1,因?yàn)閗F2Q=kF2P,所以Q,P,F2三點(diǎn)共線。

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-λ)時(shí),也滿足。

②若x0≠0,設(shè)Q(m,n),m≠-λ,F1Q的中點(diǎn)為M,則,代入直線l的方程得x0m+2y0n-x0λ-4λ2=0。

因?yàn)閗F2Q=kF2P,所以Q,P,F2三點(diǎn)共線。

綜上可得,Q,P,F2三點(diǎn)共線。

30.(1)連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BD⊥AC。因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD。又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC。又PC?平面PAC,所以PC⊥BD。

②以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖10所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),)。

圖10

因?yàn)槎娼茿-DE-B為銳角,所以二面角A-DE-B的余弦值的大小為。