“不等式及其解法、線性規劃、空間幾何、解析幾何”

■安徽省六安二中 陶興紅

一、選擇題

1.若直線l1:x+(1+m)y=2-m,l2:2mx+4y+16=0互相垂直,則實數m的值為( )。

A.1或-2 B.-2

2.不等式(x-2)(2x-3)＜0的解集是( )。

A.a1a2=b1b2

B.a2b1=2a1b2

C.a1+a2=b1+b2

D.2a1+2a2=b1+b2

5.設正四面體A-BCD的棱長為2,E,F分別是BC,AD的中點,則的值為( )。

A.0≤a≤2

B.0＜a＜2

7.設x,y均為正數且2x+5y=20,則的最大值為( )。

A.1 B.2 C.10 D.20

8.如圖1所示,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點,點F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點)上運動,則( )。

圖1

A.在點F的運動過程中,存在EF∥BC1

B.在點M的運動過程中,不存在B1M⊥AE

C.四面體EMAC的體積為定值

D.四面體FA1C1B的體積不為定值

9.在平面直角坐標系中,一條雙曲線經過旋轉或平移所產生的一系列雙曲線都具有相同的離心率和焦距,稱它們為一組“共性雙曲線”。例如,將等軸雙曲線x2-y2=2繞原點逆時針轉動45°,就會得到它的一條“共性雙曲線”。根據以上材料可推理得出雙曲線的焦距為( )。

10.如圖2所示,已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,F為線段BC1的中點,E為線段A1C1上的動點,則下列結論中正確的是( )。

圖2

A.存在點E,使EF∥BD

B.三棱錐B1-ACE的體積隨動點E的變化而變化

C.直線EF與AD1所成的角不可能等于60°

D.存在點E,使EF⊥平面AB1C1D

11.某幾何體的三視圖如圖3 所示,其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為( )。

C.4π

D.8π

圖3

12.已知正數x,y,z滿足x2+y2+z2=1,則的最小值為( )。

A.3

C.4

13.(多選)已知a＞0,b＞0,a2+b2-ab=2,則下列不等式恒成立的是( )。

B.ab≤2

D.a2+b2≥4

14.(多選)已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F到準線的距離為4,直線l過點F且與拋物線交于A,B兩點,若M(m,2)是線段AB的中點,則( )。

A.m=1

B.p=4

C.直線l的方程為y=2x-4

D.|AB|=5

二、填空題

17.若不等式mx2+4mx-4＜0對任意實數x恒成立,則實數m的取值范圍為____。

18.已知在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD是邊長為2的正方形,用與直線PA、BD都平行的平面截此四棱錐,截面與AB、AD、PD、PC、PB分別交于F、G、H、M、E,則截面EFGHM面積的最大值為____。

19.已知直線l1:2x+y-6=0 和點A(1,-1),直線l2過點A且與直線l1相交于B,|AB|=5,則直線l2的方程為____。

20.已知關于x的不等式ax2+bx+c＞0(a,b,c∈R)的解集為{x|3＜x＜4},則的取值范圍為____。

21.設M,N,P分別是棱長為2 的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD,C1D1,A1B1的中點,R為BD上一點,且R不與D重合,且M,N,P,R在同一個表面積為S的球面上,記三棱錐N-MPR的體積為V,則的最小值是____。

22.如圖4 所示,在正四棱錐P-ABCD中,,AB=2,從點A拉一條細繩繞過側棱PB和PC到達D點,則細繩的最短長度為_____。

圖4

23.下列命題正確的是_____。(寫出所有正確命題的編號)

①命題“若a+b=0,則a=5且b=-5”的否定是“若a+b≠0,則a≠5且b≠-5”。

②已知函數f(x-1)的圖像關于直線x=2對稱,函數f(x)為奇函數,則4是f(x)一個周期。

③平面α⊥β,α∩β=l,過α內一點A作l的垂線m,則m⊥β。

④在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則a,b,c成等差數列。

三、解答題

24.已知直線l:(2m-3)x+(m-1)y+4-2m=0(m∈R),圓C:x2+y2-6x+5=0。

(1)證明:直線l恒過定點。

(2)當直線l與圓C相切時,求m的值。

(1)求橢圓E的方程。

(2)若在橢圓E上的任一點N(x0,y0)處的切線方程是,求證:直線AB恒過定點C,并求出定點C的坐標。

(3)是否存在實數λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|恒成立(C為直線AB恒過的定點)? 若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由。

26.如圖5 所示,已知四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=2,F為PC的中點。

圖5

(1)證明:PA∥平面BDF;

(2)證明:平面PAC⊥平面BDF;

(3)求三棱錐P-BDF的體積。

27.已知不等式mx2-2x-m+1＜0。

(1)若對所有的實數x使得不等式恒成立,求m的取值范圍;

(2)設不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范圍。

28.如圖6所示,在幾何體ABCDEGF中,四邊形ABCD為菱形,AG∥BF∥DE。

圖6

(1)證明:GF∥平面EDC;

(2)若BF=DE=2AG=4,AB=4,,AG⊥平面ABCD,求二面角G-EF-C的余弦值。

29.在平面直角坐標系xOy中,P(x0,y0)(y0≠0)是橢圓C上的點,過點P的直線的方程為。

(1)求橢圓C的離心率;

(2)當λ=1時,設直線l與x軸,y軸分別交于A,B兩點,求△OAB面積的最小值;

(3)設橢圓C的左焦點和右焦點分別為F1,F2,點Q與點F1關于直線l對稱,求證:Q,P,F2三點共線。

30.如圖7 所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,且PA⊥平面ABCD。

圖7

(1)求證:PC⊥BD。

(2)過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E,當三棱錐EBCD的體積取到最大值時,求:

①PA的長度;

②二面角A-DE-B的余弦值的大小。

參考答案：

一、選擇題

1.D 2.C 3.A 4.A 5.A 6.D

7.A 8.C 9.C 10.D 11.C 12.C

13.BC 14.BC

二、填空題

23.②④

三、解答題

24.(1)將直線l的方程整理得(2x+y-2)m+(-3x-y+4)=0。

(2)將圓C的一般方程化成標準方程為(x-3)2+y2=4,所以圓C的圓心為(3,0),半徑為2。

因為直線l與圓C相切,所以圓心C到直線l的距離等于半徑。

26.(1)如圖8,連接AC交BD于點O,連接OF。因為F為PC的中點,所以OF為△PAC的中位線,所以OF∥PA。又因為OF?平面BDF,PA?平面BDF,所以PA∥平面BDF。

圖8

(2)因為PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PA⊥AC。因為F為PC的中點,所以OF∥PA,所以OF⊥AC。因為底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD。又OF∩BD=O,所以AC⊥平面BDF。因為AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面BDF。

27.(1)當m=0時,-2x+1＜0,對所有的x不恒成立。

當m≠0時,設f(x)=mx2-2x-m+1,若f(x)＜0對所有的實數x恒成立,則需二次函數y=f(x)的圖像全在x軸的下方,所以m＜0,且Δ=4-4m(1-m)＜0,無解。

綜上可得,不存在這樣的m,使得不等式mx2-2x-m+1＜0恒成立。

28.(1)因為AG∥DE,AG?平面EDC,DE?平面EDC,所以AG∥平面EDC。因為四邊形ABCD為菱形,所以AB∥DC。同理可得AB∥平面EDC。又因為AB∩AG=A,所以平面ABFG∥平面DCE。因為GF?平面ABFG,所以GF∥平面EDC。

(2)連接AC,BD相交于點О,以OA,OB分別為x軸,y軸,建立如圖9所示的空間直角坐標系O-xyz。

圖9

由圖知二面角G-EF-C的平面角為鈍角,所以其余弦值為。

①若x0=0,則P(0,λ),Q(-λ,2λ),此時kF2P=-1,kF2Q=-1,因為kF2Q=kF2P,所以Q,P,F2三點共線。

當點P的坐標為(0,-λ)時,也滿足。

②若x0≠0,設Q(m,n),m≠-λ,F1Q的中點為M,則,代入直線l的方程得x0m+2y0n-x0λ-4λ2=0。

因為kF2Q=kF2P,所以Q,P,F2三點共線。

綜上可得,Q,P,F2三點共線。

30.(1)連接AC,因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AC。因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD。又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC。又PC?平面PAC,所以PC⊥BD。

②以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖10所示的空間直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),)。

圖10

因為二面角A-DE-B為銳角,所以二面角A-DE-B的余弦值的大小為。