解析幾何中軌跡問題的破解策略

■江蘇省蘇州外國語學校 陳建圣

解析幾何中軌跡方程的求解一直是該知識模塊中一個最基本的問題。在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,解析幾何中軌跡問題的求解也呈現出一些新的變化與創新。解析幾何中軌跡方程的求解是新高考中的一個基本考點,結合軌跡方程的破解策略,從不同方法與技巧入手,通過實例剖析新高考軌跡方程求解的一些創新與變化,引領并指導數學學習與復習備考。

1.直譯法

直接通過題目條件加以直譯,抓住破解的基本策略,即通過建系、設點、列式、代換、證明這五個步驟來構建關系與確定軌跡。

例1在平面直角坐標系中,△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(-1,0),(1,0),平面內兩點G,M同時滿足以下三個條件:①G是△ABC三條邊中線的交點;②M是△ABC的外心;③GM∥AB。

(1)求△ABC的頂點C的軌跡方程;

(2)若點P(2,0)與(1)中軌跡上的點E,F三點共線,求|PE|·|PF|的取值范圍。

解析：(1)設C(x,y)(y≠0),G(x0,y0),M(xM,yM)。因為M是△ABC的外心,所以M在線段AB的中垂線上,可得xM=0。因為GM∥AB,所以yM=y0。

(2)因為P,E,F三點共線,所以P,E,F三點所在直線斜率存在且不為0。

點評:此題借助動點C所對應的△ABC的相關幾何特征,從更高的視角、間接條件并融合多個信息加以巧妙設置,難度中等,但信息量大,對同學們的基礎知識與基本技能的要求更高,這也是新高考命題關注數學素養與能力方面的創新點之一。

2.定義法

根據題目條件確定動點的軌跡是某種已知曲線(如圓、橢圓、雙曲線或拋物線),結合對應曲線的定義來探求對應動點的軌跡方程。

例2如圖1,在一張紙上有一圓C:,折疊紙片使圓C上某一點M1恰好與點M重合,這樣每次折疊都會留下一條折痕EF,設折痕EF與直線M1C的交點為T。

(1)求證:||TC|-|TM||為定值,并求出點T的軌跡Г的方程。

(2)已知點A(2,1),直線l交軌跡Г于P,Q兩點,直線AP,AQ的斜率之和為0。若,求△PAQ的面積。

(2)由(1)知點A(2,1)在雙曲線Г的右支上,因為直線AP,AQ的斜率之和為0,不妨設kAP＞0,則kAQ＜0。

點評:此題巧妙地設置“||TC|-|TM||為定值”的證明,這也是問題的切入點,合理設置“臺階”指引同學們思考并加以探究,并有效結合圓錐曲線的定義,利用定義法來確定對應的軌跡問題,從而有效降低難度,這也是新高考在命制試題時關注試題的梯度性與可操作性的一個重要體現。

3.代入法(或相關點法)

利用動點P(x,y)依賴于另一動點Q(a,b)(該動點在某已知曲線上)的變化而變化,進而通過構建參數之間的關系,將參數a、b代入已知曲線的方程而得到所求動點的軌跡方程。

例3已知直線x-2y+1=0 與圓C:x2+y2-4x+2y-a=0交于A,B兩點,CA⊥CB。

(1)求實數a的值;

(2)若點P在圓C上運動,O為坐標原點,動點M滿足,求動點M的軌跡方程。

點評:此題借助平面向量這一基本數學工具,構建動點與相關點之間的坐標關系,為軌跡的確定與方程的求解構建聯系。此類問題經常通過線段長度的比較關系來設置,利用向量知識的引入或向量法的應用,這是命題人關注試題的交匯性與應用性的一種手段。

4.交軌法

當問題涉及兩動曲線的交點的軌跡問題時,往往通過解方程組的方法確定交點(含參數)的坐標,借助消參數求得對應的軌跡方程。交軌法往往與參數法綜合起來應用。

例4已知拋物線C:x2=4y,過其焦點F的直線與C相交于A,B兩點,分別以A,B為切點作C的切線,相交于點P。

(1)求點P的軌跡方程;

(2)若PA,PB與x軸分別交于Q,R兩點,令△PAB的面積為S1,四邊形PRFQ的面積為S2,的最小值。

解析：(1)拋物線C:x2=4y的焦點為F(0,1),設。

設直線AB的方程為y=kx+1,與拋物線的方程聯立,消去參數y并整理可得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4。

點評:此題其實是拋物線方程的一個“二級結論”:過拋物線的焦點弦的兩端點的切線方程的交點在拋物線的準線上,是一個定值問題。涉及圓錐曲線的一些定值(定點、定直線、定曲線等)問題,這也是新高考在命制試題時創新設置的基本類型之一,以“二級結論”的形式來考查基礎知識與基本能力等。

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進一步落實“雙減”政策與新課改理念,積極貫徹《總體方案》要求,解析幾何中軌跡問題的求解成為該知識模塊中落實“四基”的常見方式,探究基礎,挖掘本質,嘗試創新,著力能力,進而堅持開放創新與核心素養導向,更加注重數學的創新意識與創新應用。