拓展數學思維深度 培養學生探究能力

劉玉強 隋致敏

（本節課榮獲東北、華北人教版小學數學核心素養示范課觀摩交流會一等獎。）

設計理念：

現代數學課堂除了以數學知識為教學目標外，還要以它為載體，重點發展學生的數學核心素養，進一步拓寬數學思維深度與廣度，用數學的眼光看待周圍世界，注重培養學生的創新精神和探究實踐能力。“三角形三邊關系”一課中，通過創設一系列數學活動，讓學生真正經歷發現、驗證、完善的研究過程，目的是使學生體驗到三邊關系的同時，進一步發展空間觀念，體驗基本數學事實，培養數學直覺，同時可以使學生感受到探索發現的樂趣，獲得成功的喜悅，從而促進學生數學素養的提升。

教學內容：義務教育課程標準實驗教科書人教版數學四年級下冊第62頁。

學情與教材分析：

“三角形三邊關系”這一內容是在學生初步了解了三角形特性的基礎上，進一步體驗三角形的邊的關系，為接下來了解三角形的分類及角的關系打好基礎。教材通過現實生活情境，使學生先了解到“兩點間線段最短”這一公理，然后通過各種數學體驗活動得到“三角形中任意兩邊和大于第三邊”的推論。通過課前訪談了解到，學生對生活中“兩點間線段最短”這一數學事實非常熟悉，并可以根據這一數學事實解釋現實生活中這一類數學現象。

教學目標：

1.借助學生已有生活經驗，理解兩點間所有連線中線段最短，經歷推理、完善、驗證等數學過程，體驗三角形三邊關系。

2.借助畫一畫、算一算、拼一拼等數學活動，使學生從數學的角度發現客觀事實，積累數學活動經驗，培養學生自主探索、動手操作、合作交流的能力。

3. 初步體會簡單的數學推理和證明方法，培養學生數學直覺，滲透建模思想。

教學重、難點：理解、體驗三角形的任意兩邊和大于第三邊。

教學準備：多媒體課件、鐵絲、活動三角形。

教學過程：

一、借助生活經驗，感受數學事實

師：孩子們，上課開始，我們先看看老師每天早上從家去學校有幾條路可以走，哪條路最近呢？

生：3條路，中間最近。

師：你有什么辦法能比較出來中間這條路最近嗎？

生：用尺來測量一下長度。（實地去測量一下可以驗證，還有不同的辦法嗎？）

生：把線拉直比較一下。

師：這就有路線的模型，你能邊操作邊說嗎？

生：這條直的近，彎的遠。所以……（思路清晰，表達清楚。 ）

師：通過剛才的觀察和操作，你能再說說你知道了什么？

生：兩點間直線最短。（那兩點之間直的這條線我們可以稱作線段，你能再說說嗎？）

生：兩點間線段最短。

師：根據生活經驗，我們知道了兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度就叫做這兩點間的距離。看來我從家去學校這條路最近，如果從家去別的地方，你還能提出一個類似的問題嗎？

評析：學生借助已有的生活經驗，能用自己的話說出兩點間線段最短，能理解這個數學事實，調動生活經驗認識理解公理，做好推測推論的知識準備。同時也讓學生感受到生活中處處有數學，數學可以從不同的角度對生活現象進行解釋說明。

二、借助數學事實，推測三角形三邊關系

師：通過這個實際的問題我們可以抽象出一個幾何圖形，想象一下，是什么圖形？（三角形。）

師：對，三角形，如果用a、b、c分別表示這3條邊的長度，根據剛才的生活經驗和我們探索出的這個結論，你能推測一下三角形三條邊的長短存在怎樣的關系嗎？請你獨立思考一下，再和你同桌說說。

師：（生答a+b>c。）他認為三條邊有這樣的關系，你們也是這樣想的嗎？那你是怎樣想到的呢？

師：剛才拉直的方法給你留下了深刻的印象，那我們剛才有結論嗎，你能再說說嗎？像這樣的關系，三角形中你還能找到嗎？（a+c>b。）（從郵局到學校 b+c>a。）

師：（生答a>b>c。）你觀察的是這個三角形，無論什么樣的三角形都有這樣的關系嗎？（出示課件。）把你的目光和思考放在3條邊上。

…………

師：同學們推測出了三角形三邊有這樣的關系，那你能用一句話概括地說說嗎？

師：（板書：三角形兩邊之和大于第三邊。）你們同意嗎？

師：所有三角形三邊都有這樣的關系嗎？（不一定。）我們還是不要輕易下結論，要驗證一下，你有什么好辦法？（和你同桌商量商量。）

生：畫一個三角形，量一量。

師：畫一畫算一算，用數據說話，有理有據思路真棒。還有別的方法嗎？

生：用小棒擺一擺。

師：小棒拼擺實際動手操作，用事實說話，有誰想用畫一畫算一算的方法？

評析：根據“公理”推測三角形的三邊關系，由生活經驗進行猜想，尊重學生的已有生活經驗，尊重三角形三邊關系的邏輯起點是公理。

三、借助數學活動，驗證數學推論

師：現在我們就畫一個三角形，別著急，現在是信息技術時代，軟件可以代替我們動手畫動手量，方便極了。這個軟件叫幾何畫板，它可以畫出任意的一個三角形，而且還能測量長度。

師：那我說開始，你說停，我們讓它任意地畫出一個三角形。這個三角形三邊有這樣的關系嗎，請你來判斷一下。

師：（只說一組。）他判斷出了其中一組的關系，還有嗎？

師：看來這個三角形確實符合兩邊的和大于第三邊。

師：好，我們再換一個三角形。這回同桌互相算一算，說說這個三角形中有這樣的關系嗎？誰來說說你的結論？

師：如果再任意地畫一個三角形，它的三邊關系是（ ）。

評析：借助幾何畫板這一現代技術手段，從已知三角形中進行驗證，使學生初步感知三角形中任意兩邊和都大于第三邊。幾何畫板的任意性反應出規律的普遍性，不完全歸納法進行驗證。

師：通過以上探究，在已經畫好的三角形中，我們發現了三角形三邊的關系。現在這樣，我們換一種思考角度行不行，用線段去圍三角形，進一步去體驗、理解三角形三邊關系，好嗎？

打開1號學具袋，拿出里面的鐵絲圍三角形，你能想到辦法把它圍成三角形嗎？

生：折。

師：折可以。那現在老師有要求了，只折一次，你能圍成三角形嗎？看誰圍得快。邊圍邊感受三角形的三邊關系，看看有沒有更深的理解。開始吧。

師：時間到，圍成三角形的同學舉起你的三角形給大家展示一下，還有沒圍成的也別著急，是你們的鐵絲中存在著秘密。一會看你能不能發現。無論是否圍成，寶貴的經驗都是收獲。

師：1號你折的是兩根鐵絲中的哪一根？（長的。）2號你折的呢？（長的。）34號呢？圍成的同學你們呢？（長的。）你們折的地方都不同，什么變了，什么沒變？（長度沒變。）你們所說的長度沒變，是什么長度沒變？（兩邊的和沒變。）

師：圍成的同學你們折的都是長的嗎？其他同學如果也給你這樣的小棒你們也打算折長的嗎？為什么都折長的？

生：三角形兩邊之和大于第三邊。

師：看來你們又驗證了我們的結論。

（角度：調節角度，能不能圍成。今天我們關注的是邊長短的關系，關于角度的問題下節課我們就會研究。）

師：折短的行不行？說明三邊什么關系時候圍不成？（兩邊之和小于第三邊。）

師：看來在已經圍成的三角形中，一定會有（ ）一定沒有（ ）。帶著思考的操作更有價值，你們對這個關系有了更深一步的理解了。兩邊之和小于第三邊圍不成。

師：剛才也有沒有拼成的同學，是否發現了小棒中的秘密了呢。（兩根一樣長。）

師：沒拼成的同學你們的鐵絲都一樣長嗎？兩根一樣長為什么拼不成呢？誰來到前面說說？

師：我們都來想象一下，現在讓我們閉上雙眼，在你的眼前出現了兩根一樣長的鐵絲，輕輕折一根小棒，怎么樣了？能圍成三角形嗎？誰來說一說你頭腦中看到了什么？（把其中一根稍微折一下就夠不到了。）

師：折短了，你的語言雖然不夠精確，但是我們大家都聽明白了，佩服。你想說的是端點夠不上了。同學們你看到的是不是這樣的？（課件展示。）

師：說明三條邊什么關系，就圍不成？（兩邊之和等于第三邊拼不成。）三角形三邊關系一定是（ ）。

師：我還有一個問題。一長、一短（折短的不行，折長的行），無論怎么折都一定行？能說說理由嗎？

生：只折一點點。

師：全體同學思考他的想法，折一點點是不是真的拼不成，為什么呢？有這么多同學也想到了。剛才誰第一個發現的，我們讓第一個發現者到前邊來說說。

生：雖然這兩條邊和大于第三邊，但這兩條邊的和又小于第三邊了。

師：能換個角度想想嗎？這兩邊的和大于它了呀，怎么又拼不成了呢？

生：這條邊太長了。

師：你說得非常好，你是想說長得太多了，長到一定的程度就圍不成了，量變決定了質變。

師：只滿足一組兩邊之和大于第三邊行不行。幾組能修改我們的推測？能在這個基礎上再加一個詞嗎？思維的碰撞總能產生智慧的火花。

師：我們對任意有了進一步的理解。（貼紅字：任意。）

師：通過剛才我們的折拼，你對這個結論還有什么深刻的理解？

…………

評析：因學生手中有兩類不同長度的鐵絲，從而制造出圍成結果的沖突，借助學生的匯報、展示、交流、補充，引導學生一次次加深對三角形三邊關系的理解。

四、聯系生活，拓展應用

師：接下來請你判斷這幾組小棒能不能拼成一個三角形。請你用這個手勢表示能拼成，用這個手勢表示拼不成。誰來說說你是怎樣判斷的？

（1）8，11，11閉上眼睛想象這個三角形是什么樣。

（2）6，6，6再閉上眼睛想象一下這個三角形的樣子，你想象的三角形是不是這個樣子（課件）？它叫等邊三角形，以后我們會繼續研究它。

（3）已經有了3厘米和8厘米兩根小棒，第三根小棒可能是多少呢？可以在頭腦中空間想象一下，也可以借助學具袋2的學具操作，同桌商量一下。

師：這節課我們由生活實際探索出了三角形三邊關系，其實它還可以解釋很多生活現象，比如走路等等。生活中你遇到過哪些現象可以用這節課知識解釋的？

師：是呀，不過雖然可以減少路程，也不是什么時候都可以的，像這樣橫穿草坪、斜穿馬路可以嗎？你想對他們說些什么？

師：生活中，為了遵守規則，需要繞一些彎路，比如我們想從A點到C點，應該怎樣走（A-B-C，A-D-C）。但是因為交警叔叔就是根據三角形三邊關系設計了這樣的對角斑馬線，現在從A到C，你想怎樣走，為什么？看來數學可以指導服務于我們的生活，方便我們的生活。

師：剛才我們探究了三角形的三邊關系，三角形不僅由3條邊組成，它還有3個角。那三角形角之間有什么關系，角與邊又有什么關系呢？看來三角形還有很多奧秘等待我們去探索，讓我們帶這些數學思考期待以后的學習。

評析：應用三角形三邊關系，發散學生的思維，滲透區間的意識。最后將本節課探索的關系延伸到課堂以外，為后續學習做好鋪墊。

總評：

《數學課程標準》指出，數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。劉玉強老師執教的這節《三角形三邊關系》正是建立在學生對三角形初步認識的基礎之上進行的，并且遵循了學生的認知規律。學生親自動手操作探尋三角形三邊的關系，巧妙地將數學知識與生活中的數學緊密相聯，培養了學生思維能力和空間想象能力，使每一位學生都能獲得良好的數學教育，不同的學生在數學上得到不同的發展，這一課程理念有效地融入數學課堂之中。

一、遵循學生認知規律，巧妙創設問題情境

本節課從學生的已有生活經驗出發，重新組織了教學內容，創新的設計改變了大多數教師的教學思路，遵循了教材的設計理念，尊重了學生的認知規律，順應了學生的發展需求。無論是幾何畫板的引入，還是學具的設計都別具匠心，都是為學生和課堂服務。學生在探究活動中不僅自主推測驗證了結論，而且獲得了積極的情感體驗。

上課伊始教師設計了“老師每天從家去學校走哪條路最近”這一與現實生活相關的問題情境，以喚醒學生的生活經驗，從而提煉出數學事實——兩點間所有連線中線段最短。然后通過幾何畫板、學具操作、觀察交流、發現規律，歸納總結出三角形三邊的關系。

而教材把例3安排在例4之前，是有其合理之處的。首先，例3的內容貼近生活，學生有充分的生活經驗，能喚起學生學習數學的興趣。其次，用“兩點之間線段最短”來解釋“三角形三邊關系”符合學生的認知規律。找到三角形三邊關系的邏輯起點，用公理推測三角形三邊的關系，即借助直觀的生活經驗去構建抽象的數學知識，教師的這個問題情境設計合理有效。

二、重視數學活動經驗，信息技術融于教學

在學習認識公理時，公理是不需要驗證的，但需要學生能從生活經驗中提取并描述出來。為此劉老師精心地設計了“路線模型”，設計實物模型目的是讓學生直觀地觀察并理解“公理”，為后續學習三角形三邊的關系做好鋪墊，由“路線模型”抽象出三角形，由公理推測三角形三邊的關系。

然而研究三角形三邊的關系，前提是先存在三角形，然后再研究三邊關系。教學中先讓學生由公理推測，劉老師巧妙地運用了幾何畫板來驗證推測。信息技術與數學課堂的高度融合，也使得學生在知識的理解上更加深刻。軟件的圖形繪制直觀而且變化豐富，幾何畫板的任意性恰恰反應出規律的普遍性，用不完全歸納法進行驗證。

動手實踐驗證過程中，教具的精心設計也幫助學生理解三角形三邊的關系，重視數學活動經驗。因為三角形三邊關系是小學階段唯一一個系統研究的不等關系，而兩根鐵絲的教具設計，幫助引導學生將目光和思考放在兩邊和與第三邊的大小關系上——鐵絲“變”的是形狀，一根變兩段，鐵絲“不變”的是長度，兩邊的和不變。學生在操作的過程中找到了圍成的原因——兩邊的和大于第三邊，也找到了圍不成的原因——兩邊的和等于第三邊。沒有人去折短邊，因為一定是圍不成的，也能抽象提取出兩邊的和小于第三邊也是圍不成的。

可以說課堂上教師設計的每一個環節都是環環相扣、別具匠心的，都是適當適時地給予學生學習的點撥。再比如鐵絲中“折長的一定行嗎”這一問題的設計，再一次引發學生思考并補充推論。“如果只折一點點也是不行”，換個角度思考問題，讓學生深刻理解“任意”的含義，讓學生經歷一步步的實踐與探究、歸納，最后總結完善出三角形三邊的關系。

三、習題設計精、準、活、實，數學思想點滴滲透

本節課中習題的設計也是亮點不斷，不僅鞏固練習了三角形三邊的關系，培養了學生的空間想象能力，特別是“活動三角形”學具的設計，更是讓學生親自動手操作，并去觀察第三條邊的取值范圍，巧妙直觀地滲透了區間的思想。

全課的結尾體現了——“學有用的數學”這一理念。特別是對角斑馬線的引入，不僅拓展了學生的思維，鼓勵學生將學到的知識應用于實際生活中，學有用的數學，數形結合建模等思想在探索中點滴滲透。

其實提到三角形三邊關系，應該會想到的還有“等邊三角形”“等腰三角形”“邊與邊之間的關系”——三角形三邊關系、“角與角之間的關系”——三角形內角和、“邊和角的關系”——大邊對大角，三角函數等。而在三角形中還會有很多的“關系”在未來需要繼續探索和研究。全課通過“實踐—反思—再實踐”這一系列的教學過程，體現了“用好教材”的理念，做到：用好教學情境、用活教學素材、用足幾何畫板。同時教師大膽調整教學路徑，通過學生猜測、驗證、證明、歸納等數學活動，引導學生探索三角形三邊的關系，重視學生推理能力和空間觀念的發展，有效落實了數學核心素養。

另外，本節課也存在一些不足：

首先，時間安排還可以進一步優化。當讓學生獨自思考如何驗證“中間這條路最近”的時候，幾位學生都沒有答到用路線模型實際比較的方法，課堂上教師沒能及時引導和點撥，繼續讓學生獨立思考，浪費了一些課堂時間。其次，課堂開放不夠。在最后生活練習中，學生在沒有指導的情況下想到了對角斑馬線縮短過馬路時間的方法，教師應及時給予他們肯定并展示圖片，順勢將本節課知識拓展應用到實際生活中去，解決實際生活問題。課堂應該更放手于學生，真正體現學生為主體的生態課堂。

編輯/魏繼軍