建數學模型 促思維提升

李祿強

教學內容：人教版數學五年級上冊第五單元第62～63頁“方程的意義”。

教學目標：

1.借助生活情境理解方程的意義——用含有未知數的等式表示兩件事情是等價的。

2.經歷從生活情境到方程模型的建構過程，感受方程思想的核心之一，即建模。

3.培養學生觀察、描述、分類、抽象、概括、應用等能力。

教學重點：準確地從生活情境中提煉方程模型，然后用含有未知數的等式來表達，理解方程的意義。

教學難點：理解方程的意義，即用數學符號表示兩件事情是等價的。

教學過程：

一、復習舊知，引入新課

師：同學們，我們在前面學習了用字母表示數，接下來就讓我們用這部分內容來解決下面的問題。請同學們拿出老師給大家準備的練習題，認真完成。（出示練習題。）

這個長方形的面積是 平方厘米。

師：哪位同學能來解決第一道題？

生：長方形的面積是50χ平方厘米。

一輛汽車從甲地開往乙地，已經行駛了b千米，還剩95千米。甲乙兩地相距 千米。

師：第二道題怎么解決呢？

生：甲乙兩地相距（b+95）千米

他們每天一共投報 份。

師：第三道題呢？

生：他倆每天一共投報（a+b）份。

師：剛才的幾位同學都匯報了他的答案，還有哪些同學的答案和他們是一致的，請舉手！

師：同學們能熟練地用含有字母的式子表示某一個量，我們這節課就在用字母表示某一個量的基礎上，繼續來學習新的內容——方程的意義。

二、情境呈現，抽象模型

師：同學們，這節課我們要學習方程的意義，根據你的理解，你認為什么是方程？

生1：我覺得方程里邊有字母。

師：你認為方程和字母有關。

生2：我覺得方程就是其中有一個未知數，等號兩邊都是等量。

師：你認為方程和等式有關。

生3：含有未知數的等式叫做方程。

師：你真是一個善于預習的孩子。

師：方程真的是同學們說的那樣嗎？今天就讓我們從最簡單的問題開始研究。

師：同學們請看大屏幕，哪位同學能先大聲讀題，然后解答？

（出示：校合唱隊有男生12人，女生20人，校合唱隊共有多少人？）

生：12+20=32。

師：為了方便我們接下來的研究，算式后的單位名稱省略不寫了。

師：12表示（生：男生人數），20表示（生：女生人數），32表示（生：總人數）。

師：那等號的左右兩邊表示的是一回事嗎？（生：是。）這么看來這個算式是根據：男生的人數+女生的人數=總人數。像這樣的數量間的相等關系，被稱為等量關系（板書：等量關系）。

師：當已知條件發生變化時，這個問題又應該怎樣解答呢？你能用我們之前學過的知識解答這個問題嗎？

（出示：校合唱隊有男生12人，女生a人。校合唱隊共有32人。女生有多少人呢？）

生：32-12=20。

師：你說得真好。如果條件又發生了變化，你們還能解決嗎？

（出示：校合唱隊有男生b人，女生20人。校合唱隊共有32人，男生有多少人呢？）

生：32-20=12。

師：剛才，我們用3個不同的等量關系寫出了3個不同的算式。同學們注意了，老師現在要提高要求，你能不能用加法算式來表示這兩道題呢？

生：12+a=32。

師：這里的a表示什么？

生：a表示女生的人數。

師：a在這里是一個未知數。這么看來，字母也可以像數一樣參與到運算當中。第二個算式應該怎么寫呢？

生：b+20=32。

師：這里b又表示什么？

生：b表示男生的人數。

師：觀察這3個算式，它們有什么共同的地方？

生1：總人數都一樣。

生2：它們的等量關系都是一樣的。

師：他們的左邊都是男生人數加女生人數，右邊都是表示總人數。所以，可以用等號連接。像這樣用等號連接的算式，在數學中被稱為等式。（圈出所有等號，在等號下出示等式。）

師：剛才我們從文字中找到了等量關系，并根據同一個等量關系列出了3個等式。其實在我們實際生活中的很多方面，也都存在著這樣的等量關系。（出示天平。）

師：大家看，這是一個天平，現在的天平處于一個平衡的狀態，同學們想一下，天平在什么情況下才能平衡呢？

生：左右兩邊的重量相等的時候。

師：當天平的左邊重量（師晃動左手）和天平右邊的重量（師晃動右手），相等的時候（師晃動雙手），天平就會平衡。

師：請同學們認真觀察天平接下來發生的變化，你能用一個等式來表示天平現在的狀態嗎？

生：50+50=100 。

師：同學們注意看，接下來天平將再次發生變化，你還能用等式來表示天平的狀態嗎？

生：100+χ=250。

師：這個等式的左邊表示什么？右邊呢？

生：等式的左邊表示杯子的重量+水的重量，右邊表示它們的總重量。

師：所以水杯的重量+水的重量=砝碼的重量。

師：我們能從天平中找到等量關系，并根據等量關系列出等式，現在請同學們看這個實物圖，根據實物圖你能列出怎樣的等式呢？（出示情境圖。）

生： 3χ=2.4。

師：在這個等式中，等式左邊表示什么？右邊又表示什么？

生：等式左邊表示3本書一共多少錢，右邊也表示3本書的總錢數。

師：所以它們也是相等的。

師：在這個情境圖中，大括號在這里相當于等式中的什么？（生：等號。）

師：我們在實物圖中同樣找到了等量關系，那在線段圖中呢？

生： χ+73=166。

師：在這個圖示中，什么相當于等號呢？（生：下邊的大括號。）

三、引導分類，構建概念

師：我們剛才從文字、天平、實物圖和線段圖中找到等量關系，并根據等量關系分別列出了這7個等式。

師：在這7個等式中，有幾個就是我們今天要認識的方程，你能把它們找出來嗎？

等式

（1）12+20=32

（2）12+a=32

（3）b+20=32

（4）50+50=100

（5）100+χ=250

（6）3χ=2.4

（7）χ+73=166

生：第2、3、5、6、7個等式是方程。

師：大家和他找得一樣嗎？你們和老師想的也都是一樣的，它們確實都是方程，那你們認為什么是方程呢？

生1：因為這5個等式中都有未知數。

生2：這5個算式兩邊都相等。

師：是的，像這樣含有未知數的等式，叫做方程。

師：作為一個方程，它必須要含有未知數，而且還要是等式。如果用韋恩圖來表示方程和等式之間的關系的話，大的這個集合表示等式，小的這個集合就表示方程。從這個韋恩圖中，我們可以清楚地看到方程一定是等式，而等式不一定是方程。

四、出示練習，鞏固新知

師：我們現在知道了什么是方程，接下來我們來判斷一下，下邊哪些式子是方程。（出示練習題。）

1.下邊哪些式子是方程？

①33+47=80 ②x+15>72

③6（y+2）=42 ④3m+32=47

⑤21<17+10 ⑥6x+2y=42

師：請同學們把自己認為是方程的等式找出來，跟你的同桌互相交流一下，為什么你認為它是方程。（同桌交流。）

師：哪位同學來匯報一下你找的結果？

生：我認為第3個、第4個、第6個是方程，因為它們都是等式，還含有未知數。

師：同學們請看第2個等式，它為什么不是方程？

生：因為它不是等式。

師：它確實不是一個等式，而是一個不等式。

師：我們能準確地判斷一個等式是不是方程，那能不能寫出幾個方程呢？哪位同學愿意到黑板上寫一個方程？寫完的同學，同桌之間互相檢查。

師：大家看他們寫的是不是方程？（生：是。）為什么是方程？（生：它們都是含有未知數的等式。）

師：從同學們寫出的方程我們可以看出來，方程可以有這么多的形式?？磥硗瑢W們對于方程有了一定的了解，讓我們一起回到課前用字母表示數的3道題，首先看第一題，老師補充了一個條件，你能不能根據等量關系列出方程？（課件呈現：這個長方形的面積是3500平方厘米。）

這個長方形的面積是3500平方厘米。

生1：50x=3500。

生2：等量關系：長×寬=長方形的面積。

師：同學們請看第二道題，你也能根據等量關系列出方程嗎？（課件呈現：一輛汽車從甲地開往乙地，已經行駛了b千米，還剩95千米。甲乙兩地相距260千米。）

生：b+95=260，根據等量關系：已經行駛的路程+還剩的路程=總路程。

師：只要我們有足夠的已知條件，能找到等量關系，就能列出方程。同學們請注意，第三道題有變化了。請同學們自己補充一個條件，列出方程。（課件呈現。）

自己補充一個條件，列出方程。

生：王叔叔和李阿姨一天一共投報80份。列出的方程是a+b=80。

師：我們先來看他列的這個方程，他列的是不是一個方程？（生：是。）但是同學們，你們感覺他補充的這個條件怎么樣?。?/p>

生：每天投報80份有點太少了。

師：你的意思就是不符合我們的生活實際。那你能幫他改一個更大的數嗎？

生：他們每天一共投報200份。

師：那根據這個條件，應該怎么列方程呢？

生： a+b=200。

師：其他同學還補充了不同的條件嗎？

師：同學們請看老師寫出的這個方程，你知道這個方程表示的意義嗎？[7（a+b）=1400]。

生：他們7天一共投報1400份。

師：那你還能像老師這樣補充條件再列出一個方程嗎？

生：我補充的條件是31天一共投報6200份，我列出的方程是：31（a+b）=6200。

師：你真是個善于思考的孩子。

五、總結

師：現在請同學們坐好。今天我們初步學習了有關方程的知識，同學們回憶一下：

1.什么是方程？

2.方程是根據什么來的？

生1：方程是通過等量關系得來的。

生2：方程是把未知數帶入到等量關系中。

師：所以說，無論這個方程是簡單還是復雜，它的背后一定隱藏著一個等量關系。

師：同學們，你們知道嗎？方程也有著悠久的歷史。請看視頻。（出示視頻。）正是由于笛卡爾確定了方程的基本形式，所以才有了我們現代的方程，而我們今天學習的方程只是最簡易的方程，在以后的學習中我們還會學到更復雜的方程。（課件出示。）

這是我們以后會學到的一元二次方程：

x2+2x+1=4

這是二元一次方程組：

2x+3y=23x-2y=1

這是二元二次方程組：

x2+y2=54x2-2y=10

而這個就是數學界最偉大的發明——歐拉公式

歐拉公式eпi+1=0是數學里最令人著迷的一個方程，被數學家們評為“上帝創造的方程”。

由此可見方程的偉大之處。

其實方程還有許許多多的奧秘等待著我們去探索，有興趣的同學可以在課后自己去搜集一些有關方程的資料。這節課我們就上到這里。下課！

反思：

本節課是建立在學生能夠用字母表示數的基礎上進行教學的?！胺匠痰囊饬x”教學無論是教材還是以往教學實踐，無一例外都是借助天平進行導入。授課教師根據天平進行演示，先呈現一組等式（方程）、不等式，再引導學生分類，進而揭示方程的概念，這幾乎成了“方程的意義”一課教學的不二選擇。就個人教學經驗而言，常規的天平導入法雖有利于學生對“方程的意義”這節課的知識掌握，但也同樣給課堂教學帶來了挑戰與困惑——學生無法準確迅速地找出數量間的相等關系。筆者認為出現這種情況一方面與初次教學“方程的意義”時，學生對方程概念的理解出現偏誤有關；另一方面也與課堂上學生對于天平的過分關注有關。天平可以幫助學生理解“方程表示數量間的相等關系”，但是通過天平揭示的只是一種特殊的等量關系，即天平兩端所置物品的質量相等，而“方程表示數量間的相等關系”的涵義要豐富得多。

帶著這樣的思考，筆者請教了多位教研員和有經驗的教師，同時也查閱相關資料，對“方程的意義”也有了一個較為明晰的認識。筆者認為，應將“方程的意義”這節課的教學重點著眼于“知道方程式表示數量間的關系”上，而不是單純地強調“含有未知數的等式叫做方程”這個形式化的定義。

從學者的視角出發，多位專家、學者也對“方程的定義”有著不同的認知和理解。張奠宙教授認為：“這個定義其實并不重要，那只是方程式的一個外觀描述，沒有體現方程的本質?！?史寧中教授也曾提到：“雖然教科書中定義為含有未知量的等式，但應當知道方程的本質是在講兩個故事，這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數量相等?！?也就是說，從史教授等人的觀點出發去判斷一個算式是不是方程，意義不大。關鍵是要知道方程是怎么回事，是做什么用的。方程是一種思想，是把未知量視為與已知數具有同等性質且可參與運算的量，利用等量關系構造方程，求出問題的解。

因此，在進行本節課的教學時，筆者改變傳統教學中將天平作為主要媒介的慣用做法，沒有單純地讓學生根據天平的狀態列出算式，繼而進行分類、歸納，最終簡單地得出方程的概念。而是從復習“用字母表示數”引入新課。讓學生說一說“你認為什么是方程”，調動學生已有的知識儲備，激發學生對方程的樸素認識。接下來，筆者出示三道最簡單的練習題，學生將加法算式改寫成含有字母的加法算式，使學生經歷從算數方法到方程的思維的轉變，讓學生認識到，未知數也可以像已知數一樣參與到運算。這時學生在頭腦中已經初步建立方程的思維。然后學生觀察天平、實物圖、線段圖等，利用幾何直觀找到等量關系，列出方程，使他們的思維從熟悉的、簡單的等量關系中，過渡到方程的產生過程，進一步認識方程所表示的數量間的相等關系，即等量關系是組成方程的必要條件。在這個過程中，筆者并沒有根據教材出示不等式，而是讓學生在等式的基礎上找到方程，其目的是避免學生對方程的概念產生偏誤。然后，通過找出下面哪些算式是方程的練習中出示不等式，再次重點強調方程必須是等式這一概念。這樣更有利于學生理解方程，加深學生對方程概念的認識。在課堂教學中，筆者設計了一個讓學生自己寫方程的練習環節。在此環節中，筆者還特意將比較有個性的方程進行展示，讓學生認識到方程的多樣性。最后階段的練習重新回到課前的3道練習題中，有梯度地引導學生根據已知條件列出方程，進一步加深學生對方程的理解。其具體做法是：第一步，讓學生自己補充一個已知條件，然后列方程練習；第二步，給出一個方程，讓學生說明這個方程表示什么意義；第三步，精準的練習與鞏固，其目的是反復強化“每個方程背后都一定有一個等量關系”這一觀念，使學生能充分理解方程的意義。

在本節課的最后，為了激發學生的學習熱情，引發學生新的思考，筆者采用視頻播放的形式向學生介紹了方程的發展過程，并簡單介紹了在后續學習中還會學習到不同類型的方程，尤其是歐拉公式的出現，讓學生眼前一亮，激發了學生對方程探究的興趣，有利于將數學知識的學習由課內引向課外。

（作者單位：哈爾濱市泰山小學）

編輯/魏繼軍