基于KMV模型的一種信用風險評估方法及其應用

邵翠麗

【摘 要】 過去十幾年中，KMV模型在上市公司風險度量中得到了廣泛的應用，然而，在計算模型的關鍵紐帶股權市場價值時，變量d1和d2的正態分布在我國卻嚴重與事實不符，導致KMV在我國上市公司信用風險度量中的精確性較低?；诖?，文章以萬科A數據為例，應用基于期望最大化算法的極大似然估計對高斯混合模型進行了參數估計，并應用估計后的高斯混合模型重新模擬了變量d1和d2的概率密度函數，進而通過牛頓迭代算法對KMV模型進行了改進得到GKMV模型。文章最后檢驗了GKMV模型和KMV模型在信用風險度量中的精確性，發現GKMV模型確實比KMV模型有更好的信用風險度量精確性。

【關鍵詞】 KMV模型； 信用風險； 高斯混合模型

【中圖分類號】 F830.5 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1004-5937（2018）19-0034-06

一、引言

近年來，隨著宏觀經濟波動的日趨劇烈，微觀企業的風險管理逐漸顯得尤為重要，KMV公司根據Merton期權定價理論構建了度量信用風險的KMV模型，并曾一度取得良好的風險度量效果。

然而，KMV卻存在無風險利率的選擇問題、公司資產價值VA的增長率假設問題、違約距離DD和EDF值的映射關系問題、實證研究的樣本不足以及操作技術等諸多問題[ 1 ]，其中，最為重要且明顯的問題在于，KMV公司在開發KMV模型時是基于布萊克和斯科爾斯的期權定價模型（B-S模型），該模型在計算企業股權市場價值時的關鍵變量d1和d2在西方國家的企業財務數據下是服從正態分布的，然而，d1和d2在中國的企業財務數據下并不嚴格服從正態分布，由此導致基于正態分布計算的企業股權市場價值是有偏的，進而影響到KMV模型在上市公司信用風險度量中的適用性，因此，應用半參數估計方法分析d1和d2的真實分布，不但有利于精確計算出企業股權市場價值，更能作為企業風險管理的有力工具。

過去的十幾年里，KMV模型在企業信用風險度量中的精確性及其改進方法引起了眾多學者的濃厚興趣。Afik et al.[ 2 ]研究了原始KMV模型在違約風險預測中的精確性問題，發現原始KMV模型在股票市場的風險預測中不如其他一系列類似的模型，其原因在于估計的資產預期收益率和資產波動的選擇，進而從這兩個方面來改善KMV模型在違約風險預測中的精確性。Lu[ 3 ]基于Merton、Vassicek和Kealhofer的模型框架對KMV的基本思想和結構做了介紹，并解釋了應用這些模型的前提條件，還把Merton模型拓展成特殊的KMV，在他的經驗研究中，用真實數據檢驗了具有不同財務狀況的服務公司的違約概率，并發現了輸入輸出參數的變化規律。

KMV模型在預測債務違約風險中的應用研究同樣引起了中國學者的廣泛興趣。楊秀云等[ 4 ]測驗了2013年部分上市公司的違約距離，發現測驗結果存在較大誤差，說明了KMV模型在中國信用風險度量中的適用性較差，其原因可能在于KMV模型的一些假設條件在中國并不相符。曾詩鴻和王芳[ 5 ]利用ST公司和非ST公司的財務數據對債務違約點的計算進行了修正，隨后，他們在一定條件下選取了中國42家上市制造業公司數據作為樣本，對原始KMV模型與改進后的KMV模型做了對比性校驗，研究結果發現，以財務數據改進的KMV模型在對上市制造業公司的債務違約風險預測中表現出更好的精確性。王傳鵬和李春蕾[ 6 ]提出了基于條件在險值和GARCH（1，1）擴展的KMV模型，并以條件在險值和其極端波動下的違約距離作為新的信用風險度量指標，發現擴展后的KMV可以精確地對市場信用風險狀況做出預警。

本文從KMV模型的關鍵紐帶股權市場價值的估計著手，發現在估計股權市場價值時默認的正態分布與實際經濟情況不符，因而，以萬科A（000002）的2005年1月1日到2014年12月31日數據為樣本，應用高斯混合模型（GMM）重新估計了在計算股權市場價值時的d1和d2的真實分布，計算出了概率密度函數。本文將基于高斯混合模型（GMM）改進的KMV模型簡稱為GKMV模型，隨后，應用GKMV模型計算的概率密度函數來估計股權市場價值，進而應用股權市場價值重新計算違約距離與違約概率，最后證明了GKMV模型在信用風險度量中比KMV模型具有更高的精確性。所以，本文的主要創新性貢獻體現于，從KMV模型的關鍵紐帶股權市場價值的估計著手，應用高斯混合模型（GMM），基于Matlab軟件，重新計算了d1和d2的概率密度函數，改進了KMV模型在信用風險度量中的精確性，這是以往關于KMV模型的研究空白。

二、模型原理

本部分首先介紹了KMV模型的理論基礎；然后引入高斯混合方法，對不服從正態分布的d1和d2用高斯混合模型估計出其真實概率密度函數；最后創建出GKMV模型。

（一）KMV模型

假設股權的市場價值可表示為一個看漲期權的價值，即：

E=f（x） （1）

其中：E為股權的市場價值；x為包括負債的賬面價值、資產的市場價值、資產的波動性以及時間范圍的變量向量；f（·）為B-S公式。從而可以得到：

E=VN（d1）-De-rtN（d2）=f（V，σA，r，D，t） （2）

其中：V是公司資產的市場價值；σA為資產價值的波動性；D表示負債的賬面價值（即違約點DPT）；t為時間范圍，即到期時間；r代表無風險借入或貸出利率；N是正態分布的累計概率密度函數。另外，d1和d2具有如下形式：

d1= （3）

d2=d1-σA （4）

在公式（1）和公式（2）中有兩個未知數，即資產的市場價值V和資產價值的波動性σA。對公式（1）兩邊微分后求數學期望，可得到公式（5）：

σE=g（x） （5）

其中，σE為股權市場價值的波動性。同樣，將其表示成B-S模型的形式，對公式（2）兩邊求導，然后再求期望，可得到公式（6）：

σE= =g（V，σA，r，D，t） （6）

對公式（2）和公式（6）進行聯合求解，即可得到資產市場價值V及其波動性σA。隨后就可以計算出公司的違約點DPT（Default Point）及違約距離DD（Distance to Default）。

令STD代表短期負債，LTD代表長期負債，則可以得到債務違約點：

DPT=STD+0.5LTD （7）

計算出公司在某時刻的資產市場價值及此時的債務違約點，KMV模型即可確定出公司的資產市場價值下降百分之多少時即為達到了債務違約點。另外，考慮到資產市場價值的波動性σA，將達到債務違約點時資產價值下降的百分比除以資產市場價值的波動性即可計算出債務違約距離DD，其公式為：

DD= （8）

如果已知資產的概率分布，那么就可以通過違約距離來直接計算預期違約概率（Expected Default Frequency，EDF）。通常假設資產價值服從正態分布或對數正態分布，這樣就能計算理論上的違約概率。假設資產價值服從正態分布，根據違約距離DD的定義，則理論上的期望違約概率計算公式為：

EDF=Pr（E（V1）

（9）

（二）高斯混合模型

為了逼近KMV模型中變量d1和d2的概率密度函數，首先要建立基礎的高斯混合模型，可以表示為：

f（x）= ？琢kfk（x；？滋k，σ2k） （10）

其中：k為高斯函數的個數；x為變量向量，包括d1、d2以及DD；？琢k為第k個高斯函數的權重；fk為第k個高斯函數；？滋k與σ2k分別為屬于第k個分類的該變量的均值和方差。另外，對于第k個高斯函數的權重？琢k以及第k個高斯函數fk分別有如下約束條件：

？琢k=1 ？琢k≥0；k=1，…，g （11）

fk（x）= e （12）

（三）GKMV模型

GKMV模型即為用高斯混合模型改進的KMV模型，其改進過程主要基于牛頓迭代法，迭代過程如下：

首先，用公式（2）和公式（6）計算出資產市場價值V1及其波動率σ1A，將其代入公式（3）和公式（4），進而計算出d1和d2；其次，利用上文估計出的高斯混合模型來計算d1和d2的概率密度函數 （x）1和 （x）2，借助Matlab軟件計算出相應的分布函數 （x）1和 （x）2，該分布函數是對變量真實分布的精確逼近，相對于默認的正態分布有更高的精確性，因此，再將 （x）1和 （x）2替換公式（2）和公式（6）中的N（d1）和N（d2），并計算出新的資產市場價值V2及其波動率σ2A。進入新一輪迭代過程，將上一步驟中計算得到的資產市場價值V2及其波動率σ2A代入公式（3）和公式（4）并計算出第二輪的d21和d22，然后再利用上文估計出的高斯混合模型來計算d21和d22的概率密度函數 （x）1和 （x）2，借助Matlab軟件計算出相應的分布函數 （x）1和 （x）2，再將 （x）1和 （x）2替換公式（2）和公式（6）中的N（d1）和N（d2）。

重復上述迭代過程，直到相鄰兩次迭代計算得到的資產市場價值V2及其波動率σ2A無顯著變化，即可計算出最終的資產市場價值Vn和其波動率σnA。最后，把得到的資產市場價值Vn及其波動率σnA代入公式（8），計算出違約距離DD，再將其代入公式（9），即可計算出最終的違約概率EDF。

三、實證分析

（一）變量選取及數據描述

本文在GKMV模型的參數估計過程中，應用的樣本數據為上市公司萬科A（000002）2005年至2014年的年度數據，這就意味著對KMV模型的改進是基于萬科A公司數據的改進，因而，對于不同的公司會有不同的參數估計結果，即對KMV模型有不同的改進結果，但對KMV模型改進的整體思想和方法都是完全一樣。因此，本文以萬科A為例進行實證分析，各變量選取及數據描述如下。

第一，市場無風險利率r。本文選取中國人民銀行發布的金融機構一年期固定存款利率作為代理變量，然而，由于所選樣本數據是2005年至2014年的十年數據，且我國中央銀行近年來多次調整一年期固定存款利率，所以，用執行時間的加權平均方法來計算無風險利率r，權重即選取實施該固定存款利率的天數，通過時間加權后，得到平均市場無風險利率。原始數據來源于中國人民銀行官方網站，無風險利率r的計算方法為：

r= （13）

其中：r為無風險利率，即一年期平均固定存款利率；ri為當年的第i個一年期固定存款利率；ti為當年的第i個一年期固定存款利率的執行天數；tt為當年的總天數。

第二，公司股權的市場價值E。由于我國實際情況與國外其他股票市場不同，2005年以來實行了股權分置改革，以非流通的國有股和法人股向流通股股東支付對價的方式在理論上實現了股票的全流通，然而，非流通股的價值通常還是比流通股的價值低，并不能直接以流通股價格來估算非流通股的價值，基于此，本文用每股凈資產來估算非流通股的價值。其中，樣本區間為2005年至2014年，原始數據來源于萬德數據庫，每股凈資產的計算方法為：

E=CP×S+NA×NS （14）

NA=SR/TS （15）

其中，CP代表流通股收盤價格，S代表流通股數，NA代表每股凈資產，NS代表非流通股股數，SR代表股東權益，TS代表總股數。

第三，公司股權市場價值的波動率σE。一般可用公司流通股股價的波動率來代替，而公司流通股股價的波動率可由股票的對數收益率公式、股價日波動率公式以及股價的年波動率公式計算得到。其中，樣本區間為2005年至2014年，原始數據來源于萬德數據庫，股票的對數收益率公式、股價日波動率公式以及股價的年波動率公式分別為：

st=ln（pt+1/pt） （16）

σd= （17）

σE= （18）

其中，st為第t個交易日的股票對數收益率，pt是第t個交易日的股票價格，si為第i個交易日的股票對數收益率， 是股票對數收益率的均值，n為一年交易日天數。

第四，公司的債務違約點DPT。在傳統KMV模型中，違約點這個參數的設定主要基于期權定價理論，另外，根據對大量違約數據的分析結果，KMV公司認為最頻繁發生的債務違約點處于公司短期負債加上50%的長期負債的數值上，基于此，本文也采取這種處理方法。樣本區間為2005年至2014年，原始數據來源于萬德數據庫，債務違約點的計算方法為：

DPT=STD+0.5×LTD （19）

其中，DPT為債務違約點，STD為流動負債，LTD為非流動負債。

最后，對本文變量及數據進行整理匯總，見表1。

（二）實證結果

本文應用前面提到的模型和方法進行了實證分析并得到分析結果。首先，經計算得到d1和d2，對d1和d2進行了正態性檢驗，發現d1和d2并不服從正態分布；其次，借助Matlab軟件實現了高斯混合方法改進的KMV模型，得到公司資產市場價值V及其波動性σA，再根據資產市場價值V及其波動率σA計算出違約距離DD；最后，將違約距離DD代入公式（9），進而得到違約概率EDF。

1.資產市場價值、波動率及違約概率

通過前文估計方法的計算，得到了資產市場價值V及其波動性σA，以及d1和d2的計算結果。其中，公司的資產市場價值V1=[386.53 930.12 2 527.86 1 401.66 1 963.25 2 324.81 2 897.79 3 806.04 4 293.69 5 020.06]；資產市場價值的波動率σ1A=[0.42 0.73 0.82 0.39 0.51 0.14 0.10 0.11 0.07 0.09]；d11=[6.74 5.31 6.05 11.53 6.39 20.42 35.12 33.80 43.17 38.56]；d12=[6.32 4.59 5.23 11.14 5.88 20.28 35.02 33.69 43.10 38.47]。與此同時，對變量d1和d2進行正態性檢驗，檢驗結果見表2、圖1以及圖2。

從表2中的SW檢驗結果可以看出，d1和d2的SW統計量分別為0.835和0.838，其對應的P值分別為0.038和0.042，說明在95%的顯著性水平下可以拒絕d1和d2服從正態分布的原假設，即證明KMV模型中的d1和d2并不服從正態分布。

從圖1和圖2可以看出，d1和d2觀測值的散點幾乎不圍繞在對角線附近，而是呈現曲線形式，從而再次證明了KMV模型中的d1和d2并不服從正態分布。

由于d1和d2不服從正態分布，導致傳統KMV模型的信用風險度量結果是有偏的，因此，用高斯混合方法估計出對應于d11和d12的概率密度函數 （x）1和 （x）2，其計算結果為：

（x）1= e +

e （20）

（x）2= e +

e （21）

另外，根據概率密度函數 （x）1和 （x）2，圖3和圖4給出了模擬的真實概率密度函數圖，從圖中可以明顯發現，d1和d2的概率密度函數圖并沒呈現出正態分布形式，更像兩個正態分布的混合體，再次說明了本文應用高斯混合模型對KMV進行改進具有較高的精確性。

然后，根據概率密度函數 （x）1和 （x）2求出相對應的累計分布函數 （x）1和 （x）2，其計算結果為：

（x）1= （x）1dx=0.7071 （22）

（x）2= （x）2dx=0.7068 （23）

將模擬出的累計分布函數 （x）1和 （x）2替換公式（2）中的正態累計分布函數可以得到股權市場價值，進而根據股權市場價值求出資產市場價值V1及其波動率σ1A，再根據資產市場價值V1及其波動率σ1A求出新一輪迭代過程的d1和d2。結合公式（3）、公式（4）和公式（6），經過5 000次迭代，資產市場價值V及其波動率σA的相鄰兩次結果無顯著變化。最終計算結果為：資產市場價值V=[437.80 1 157.12 3 200.03 1 620.13 2 337.21 2 767.63 3 449.75 4 530.99 5 111.54 5 976.26]；資產市場價值波動率σA=[0.46 0.34 0.86 0.45 0.54 0.14 0.11 0.11 0.08 0.09]。

將公司的資產市場價值V及其波動率σA代入公式（8），即可得到違約距離DD=[1.00 2.23 0.96 1.24 1.22 3.33 3.54 3.50 4.03 4.30]。然后將違約距離DD的計算結果代入方程（9），即可計算出違約概率EDF（%）=[15.87 1.29 16.45 10.75 11.12 0.04 0.02 0.03 0.01 0.00]。

2.精確度檢驗

本部分以傳統KMV模型計算了違約距離DD和違約概率EDF，其計算結果為：違約距離DD=[0.92 0.98 0.95 1.22 1.15 2.75 2.54 2.56 2.45 3.11]；違約概率EDF=[17.88 16.35 17.11 11.12 12.51 0.30 0.55 0.52 0.71 0.09]。將傳統KMV模型的計算結果與本文GKMV模型的計算結果進行了對比檢驗，進而證明了本文的GKMV模型在上市公司信用風險度量中具有更高的精確性。

在對比檢驗中，本文選取反映公司財務風險的短期償債能力、長期償債能力和盈利能力作為對照組，分別選取速動比率、資產負債率和資產收益率作為代理變量，并進行了曼-惠特尼U檢驗和K-S檢驗，其檢驗結果見表3。

從表3的KMV模型與GKMV模型在信用風險度量中精確度的對比檢驗結果明顯可以發現，GKMV模型比KMV模型具有較高的信用風險度量精確度。第一，從對照組的速動比率來看，KMV模型的曼-惠特尼U檢驗P值為0.739，GKMV模型的曼-惠特尼U檢驗P值為0.925；KMV模型的K-S檢驗P值為0.802；GKMV模型的K-S檢驗P值為0.931。這說明了GKMV模型的信用風險度量結果與對照組的速動比率一致，而KMV模型的信用風險度量結果卻不一致。第二，從對照組的資產負債率來看，KMV模型的曼-惠特尼U檢驗P值為0.775，GKMV模型的曼-惠特尼U檢驗P值為0.842；KMV模型的K-S檢驗P值為0.793；GKMV模型的K-S檢驗P值為0.861。雖然GKMV模型和KMV模型的信用風險度量結果與資產負債率顯著性都較差，但GKMV模型的顯著性依然高于KMV模型，說明GKMV模型的信用風險度量結果與對照組資產負債率的一致性高于KMV模型的信用風險度量結果。第三，從對照組的資產收益率來看，KMV模型的曼-惠特尼U檢驗P值為0.838；GKMV模型的曼-惠特尼U檢驗P值為0.934；KMV模型的K-S檢驗P值為0.866；GKMV模型的K-S檢驗P值為0.957?？梢?，GKMV模型的信用風險度量結果與對照組的資產收益率一致，而KMV模型的信用風險度量結果卻不一致。

上述三組對照檢驗都證明了GKMV模型在信用風險度量中的精確度高于KMV模型，從而說明了本文應用高斯混合模型對KMV模型的改進確實提高了其在上市公司信用風險度量中的精確度。

四、結論

進入新時代，一大特點就是我國對外開放程度進一步提高，全球經濟合作明顯加強，跨國公司大量涌現，導致當前的公司信用風險逐漸增大，因此，微觀企業的風險管理逐漸顯得尤為重要。然而，成功的風險管理需要的不僅僅是財務方面的知識，更需要精確的信用風險度量方法。在眾多信用風險度量方法中，KMV模型在各國企業的信用風險度量中得到了廣泛應用，然而不幸的是，KMV模型在我國上市公司信用風險度量的應用中卻表現出了無風險利率的選擇問題、公司資產價值VA的增長率假設問題、違約距離DD和EDF值的映射關系問題、實證研究的樣本不足以及操作技術等諸多問題，但最為重要并且明顯的問題在于，KMV公司在開發KMV模型時是基于B-S期權定價模型，該模型在計算企業股權市場價值時的關鍵變量d1和d2在西方國家的企業財務數據下是服從正態分布的，然而，d1和d2在中國的企業財務數據下并不嚴格服從正態分布，由此導致基于正態分布計算的企業股權市場價值是有偏的，進而影響到KMV模型在上市公司信用風險度量中的適用性，導致傳統KMV模型在我國上市公司信用風險度量中的精確性較低。

基于此，本文從KMV模型的關鍵紐帶股權市場價值的估計著手，應用SW檢驗和QQ圖發現d1和d2并不服從正態分布，因而，以萬科A（000002）的2005年1月1日到2014年12月31日數據為樣本，應用高斯混合模型重新模擬了在計算股權市場價值時d1和d2的真實分布。在應用高斯混合模型模擬d1和d2的真實分布時，應用了基于期望最大化算法的極大似然估計，進而計算出d1和d2的概率密度函數，并將基于高斯混合模型（GMM）改進的KMV模型簡稱為GKMV模型。隨后，應用GKMV模型計算的概率密度函數來估計股權市場價值及其波動率，再應用股權市場價值及其波動率重新計算了違約距離與違約概率。最后，選取反映公司財務風險的短期償債能力、長期償債能力和盈利能力作為對照組，分別選取速動比率、資產負債率和資產收益率作為代理變量，并應用曼-惠特尼U檢驗和K-S檢驗對比了GKMV模型和KMV模型在信用風險度量中的精確性。

本文旨在從信用風險度量模型KMV的內部結構上對其進行改進，并在實證檢驗結果下顯示了改進后的模型確實比傳統KMV模型具有更高的信用風險度量精確性。然而，本文在對模型改進中所用數據是以上市公司萬科A數據為例，也就是說明應用不同公司數據會對KMV模型有不同的改進結果，但對d1和d2的正態性改進方法以及改進KMV模型的思路具有一致性，也即本文方法可以用于改進KMV模型在不同上市公司的信用風險度量，但在不同公司的改進細節上仍需進一步研究。

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