基于高師數學專業學生能力培養的微積分思想方法應用探析

黎海英

[摘 要]高師數學專業的學生，除了要具備扎實的學科基礎知識外，數學思想方法的培養尤為重要.隨著新課程標準的逐步實踐，在高考中，運用微積分思想方法解題的比重越來越大.這就意味著，微積分思想方法在數學方法論中的重要地位.求函數的單調性、極值、最值，以及曲線的切線問題和求證不等式等，用微積分思想方法會使問題化繁為簡，迎刃而解.因此，強化高師數學專業學生微積分思想方法的培養，對未來教育教學改革的發展有著重要的意義.

[關鍵詞]高師學生；數學方法論；微積分方法及應用

[中圖分類號] G64 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2018）12-0070-03

百年大計，教育為本，而教育的核心要素是教師.有怎樣的教師就會有怎樣的教育.師范學校是培養人民教師的搖籃，抓好高校師范學生學科專業能力的培養，是教育可持續發展的基礎.高師數學專業的學生，除了要有扎實的學科基礎知識外，數學思想方法的培養尤為重要.17世紀下半葉，微積分的發現與發展被譽為“近代技術文明產生的關鍵事件之一，因為數學思想方法引入了若干極其成功的且對以后許多數學的發展起決定性作用的思想”.恩格斯曾說：“在一切理論成就中，未必再有像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作是人類精神的最高勝利了.如果在某個地方我們看到人類精神的純粹和唯一的功績，那就是在這里.”微積分的創立，無論對數學還是對其他科學和技術的發展都產生了巨大而深遠的影響.

一、微積分思想及其應用的深刻意義

微積分的創立，極大地推動了數學的發展，豐富了數學科學的思想寶庫.隨著微積分的創立及其理論基礎的日漸完善，以微積分為基礎的數學分析科學獲得空前的發展，建立了許多數學分支，如微積分方程、積分方程、復變函數、實變函數、泛函分析、微分幾何、拓撲學、變分法等.同時，由于微積分在力學、天文學、物理學和其他科學技術中獲得極其廣泛的應用，因此也極大地促進了這些科學和技術的發展.

極限理論是微積分的理論基礎，函數、導數、微分、積分則是微積分的基本概念、基本思想和基本方法.因此，微積分的思想方法包含著極限、導數和積分的思想方法.用這些思想方法來分析和解決數學問題和實際問題，就是把問題歸結為求某個變量的極限、某個函數在某個定點的導數或某個函數在某一確定區間上的定積分.

微積分進入我國中學課堂是新課程改革的進步.2017年12月15日教育部考試中心下發的《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱》，就在數學學科（理科數學、文科數學）的考中指出，+函數與導數、函數單調性、極值、最值、導數不等式、導數與不等式的結合等均是核心考點.同時我們會發現，隨著新課程標準的逐步實踐，在高考中，運用微積分思想方法解題的比重越來越大.這就表明了，微積分思想方法在數學方法論中的重要地位.強化高師數學專業學生微積分思想方法的培養，目的就是培養適應未來教育教學改革發展需要的人才.下面從六個方面探析微積分思想在解題中的應用.

二、數學方法論——微積分思想方法的應用

（一）關于求函數的單調性問題.

研究函數f （x）在某區間的單調性問題，可根據導數有關的性質，通過分析導函數f′（x）>0（或f′（x）≥0）、 f′（x） <0（或f （x）≤0）來獲證.

例1 已知函數f（x）=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）.

（1）求實數a、b的值；

（2）研究并確定函數f（x）的單調性.

分析 （1）由方程思想可知，欲求a、b的值，只需根據已知條件列出關于a、b的方程組即可.

∵ f （x）=x3-3ax2+3bx，

∴ f′（x）=3x2-6ax+3b.

∵ 函數f （x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），

∴ f （1）=-11，f′（1）=-12，即[1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12，]

解之，得a=1，b=-3.

（2）由（1）得 f′（x）=3x2-6x-9.

解方程f′（x）=0，得x1=-1，x2=3.

∵ 當x<-1或x>3時，f′（x）=3（x+1）（x-3）>0，

∴ 當x<-1或x>3時，f （x）是增函數.

∵ 當-1

∴ 當-1

∴ 當x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）時，函數f （x）是增函數；當x[∈]（-1，3）時，f（x）是減函數.

（二）關于求函數的極值問題.

求函數f（x）的極值問題，其實就是研究函數f′（x）在某一區間的單調性，在區間的單調拐點即極值點上，利用導數f′（x）=0的性質使問題獲解.

例2 設函數f （x）=x3+bx2+cx（x∈R），g（x）=f （x）-f′（x）是奇函數.

（1）求實數b、c的值；

（2）求函數g（x）的單調區間和極值.

分析 （1）由方程思想可知，欲求b、c的值，只需根據已知條件列出并求解關于b、c的方程（組）即可.

∵ f （x）=x3+bx2+cx，

∴ f′（x）=3x2+2bx+c.

∴ g（x）=f （x）-f′（x）

=x3+bx2+cx-（3x2+2bx+c）

=x3+（b-3）x2+（c-2b）x-c.

∵ g（x）是奇函數，

∴ b-3=0，c=0. ∴ b=3，c=0.

（2）由（1）可知g（x）=x3-6x，

∴ g′（x）=3x2-6.

解方程g′（x）=0，得x1=-[2]，x2=[2].

∵ 當x∈（-∞，-[2]）∪（[2]，+∞）時，

g′（x）=3（x2-2）>0，

∴ （-∞，-[2]）和（[2]，+∞）是函數g（x）的單調遞增區間.

∵ 當x∈（-[2]，[2]）時，g′（x）=3（x2-2）<0，

∴ （-[2]，[2]）是函數g（x）的單調遞減區間.

∴ g（-[2]）=4[2]是函數g（x）的極大值，g（[2]）=-4[2]是函數g（x）的極小值.

（三）關于求函數的最大值和最小值問題.

求函數在某個區間的最值問題，其實與求函數的極值的思路相似.利用函數在某個點取得極值的性質f′（x）=0和函數在某個區間的單調性，即通過論證導函數f′（x）>0（或f′（x）≥0）、f′（x）<0（或f′（x）≤0），再結合f′（x）=0來獲證.

例3 設函數f （x）=x3+3ax2-9x+3a，其中a為實數.

（1） 若x=1是函數f （x）的一個極值點，求函數f （x）在【-3，3】上的最大值和最小值；

（2）若f （x）在（-∞，-3】和【3，+∞）上都是單調增函數，求實數a的取值范圍.

分析 （1）欲求f （x）在【-3，3】上的最大值和最小值，必須先求出函數的解析式，為此，只需求出a的值即可.由方程思想可知，欲求a的值，只需根據已知條件列出并解出關于a的方程即可.

∵ f （x）=x3+3ax2-9x+3a，

∴ f′（x）=3x2+6ax-9.

∵ x=1是f （x）的一個極值點，

∴ f′（1）=0，即

3+6a-9=0.解之，得a=1.

∴ f （x）=x3+3x2-9x+3，

∴ f′（x）=3x2+6x-9.

解方程f′（x）=0，即3（x2+2x-3）=0，得

x1=-3，x2=1.

∵ 在區間（1，3）上，f′（x）>0，

在區間（-3，1）上，f′（x）<0，

∴ x=1是f （x）在（-3，3）上的唯一極值點.

∵ f （-3）=f （3）=30，f （1）=-2，

∴ 函數f （x）在【-3，3】上的最大值是30，最小值是-2.

（2）∵ f （x）=x3+3ax2-9x+3a，

∴ f′（x）=3x2+6ax-9.

∵ f （x）在（-∞，-3】和【3，+∞）上都是單調增函數，

∴ f′（-3）≥0且f′（3）≥0，即

[27-18a-9≥0，27+18a-9≥0.]

解之，得-1≤a≤1.

∴ 實數a的取值范圍是【-1，1】.

（四）關于求曲線的切線方程和解決與切線有關的問題

求曲線的切線方程或解決與切線有關的問題，一般是根據已知條件，利用過曲線切點時導函數f′（x）=0性質，列出并解關于切線未知系數的方程或方程組即可獲解.

例4 已知[x=±1]是函數f （x）=ax3+bx2+cx的極值點，且f （1）=-1，求經過點P（1，-1）的曲線y=f （x）的切線方程.

分析 欲求經過點P（1，-1）的曲線y=f （x）的切線方程，必須先求出函數f （x）的解析式，為此，只需求出a、b、c的值即可.由方程思想可知，欲求a、b、c的值，只需根據已知條件列出并解關于a、b、c的方程組就行了.

∵ f （x）=ax3+bx2+cx，

∴ f′（x）=3ax2+2bx+c.

∵ [x=±1]是函數f （x）的極值點，

∴ f′（1）=0，f′（-1）=0，

即3a+2b+c=0， ①

3a-2b+c=0， ②

∵ f （1）=-1，

∴ a+b+c=-1 ③

聯立解①、②、③，得[a=12，b=0，c=- 32] ，

∴ [f（x）=12x3-32x，]

∴ f[ ′（x）=32x2-32].

設經過點P（1，-1）的直線與曲線[f（x）=12x3-32x]相切于點Q（x0，f （x0）），則切線的方程為

y-f （x0）=f′（x0） · （x-x0），

y- [12x30-32x0] = [32x20-32]（x-x0）.

∵ 切線經過點P（1，-1），

∴ -1- [12x30-32x0] = [32x20-32]（1-x0）.

化簡、整理，得[2x30]-[3x20]+1=0.

解關于x0的上述方程，得x0=1或x0= - [12].

將x0的兩個值分別代入上述切線方程，得

y=-1或9x+8y+10=0.

∴ 所求切線方程為

y+1=0或9x+8y+10=0.

（五）關于求解不等式問題.

利用函數思想和導數思想解決不等式問題，其實就是先用函數思想分析不等式，把不等式的證明問題轉化為函數單調性或函數值域的確定問題，然后用導數思想解決函數的單調性或函數值域的確定問題.

例5 求證：當x>-1時，ln（x+1）[≤x].

分析 欲證原不等式成立，只需證ln（x+1）-x [≤0]即可.

用函數思想考察和分析問題，欲證上述不等式成立，只需證函數f （x）=ln（x+1）-x的最大值是0就可以了.

設f （x）=ln（x+1）-x，則

f′（x）=[ 1x+1] -1=- [xx+1].

令f′（x）=0，解之，得x=0.

∴ x=0是函數f （x）=ln（x+1）-x的極值點，

∵ 當-10，

∴ 函數f （x）在（-1，0）上單調遞增.

∵ 當0

∴ 函數f （x）在（0，+∞）上單調遞減.

∴ x=0是函數f （x）的唯一的極值點，又是極大值點.

∴ x=0是函數f （x）的最大值點.

∵ f （0）=0，

∴ 函數f （x）在（-1，+∞）上的最大值是0.

∴ ln（x+1）-x ≤0.

∴ 當x>-1時，ln（x+1）≤ x.

（六）關于求解實際工作和生活中的最值問題.

求解實際工作和生活中的最值問題，實際上就是用導數思想研究實際問題中的最大值或最小值問題.解決此類問題，主要分為兩大步，一是建立有關變量之間的函數關系式，這是模型建立問題；二是用導數思想研究所建立的函數的單調性和極值點，從而確定函數的最大值或最小值.

例6 某公司決定采取增加廣告投入和技術改造投入兩項措施來獲得更大的收益.通過市場調查和市場預測，當對兩項投入都不超過3百萬元時，每投入x百萬元廣告費，所增加的銷售額可近似地用函數f （x）=-2x2+14x 來計算；每投入x百萬元技術改造費用，所增加的銷售額可近似地用函數g（x）= - [13] x3 +2x2 +5x 來計算.

現該公司計劃共投入3百萬元用于廣告投入和技術改造投入，請你為該公司設計一種資金分配方案，使該公司能獲得最大的收益.（注：收益=銷售額-投入）

分析 求解這類問題，關鍵是建立收益與投入之間的函數關系式，然后用導數思想確定函數的最大值或最小值（用料最省、消耗最少則是求最小值）.

設技術改造投入x百萬元，則廣告投入為（3-x）百萬元.技術改造投入所增加的收益為f （x）=（-[13]x3+2x2+5x）-x，廣告投入所增加的收益為g（x）=[-2（3-x）2+14（3-x）]-（3-x），所以，總投入所帶來的總增加的收益為

F（x）=f （x）+g（x）=-[13]x3+2x2+5x-2（3-x）2+14（3-x）-3.

因為采取措施前的投入和收益都是常量，采取措施后的投入也是常量，所以該公司收益最大量就是投入3百萬元后總增加的收益最大的時候.

化簡、整理，得

F（x）=-[13]x3+3x+21.

∴ F′（x）=-x2+3.

令 F′（x）=0，解之，得x=[3]或x=-[3]（舍去）.

當0 ≤x<[3]時，F′（x）>0；當[3]

∴ 函數F（x）在【0，[3]）上單調增，在（[3]，3】上單調減.

∴ x=[3]是函數F（x）在【0，3】上唯一的極大值點.

∴ x=[3]是函數F（x）的最大值點.

∴ 當 x=[3]≈1.732時，F（x）取得最大值.

所以，該公司的資金投入方案應為：技術改造投入1.73百萬元，廣告投入1.27百萬元.這樣，該公司便可獲得最大的收益.

三、結語

數學思想方法是數學的靈魂，是形成學生良好認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁.基礎數學引入微積分的導數內容，不僅使數學內容增添了更多的變量內容，拓展了學習和研究的領域，更為重要的是在中學數學中引入了更為先進、更高層次的數學思想——微積分思想，這極大地拓展了思維的空間，使許多用初等方法無法解決的問題，用微積分的思想來分析和研究時便能迎刃而解.加強師范生數學思想方法——微積分思想方法的培養，是未來數學教育教學的需要，也是科學技術發展和人才培養的需要.數學和科學技術發展到今天，數學已經成為一切科學技術的工具.正如馬克思所預言：“任何科學只有在成功地應用數學來描述自己的一切結論時，才算真正達到了完善的地步.”因此，學習和研究數學方法，對于現代技術的發展、完善、普及和應用都有極其重要的促進作用.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳勇.從歷史視角看高等教育的本質[J].大學教育，2018（9）：40-42.

[2] 教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[J].北京：人民教育出版社出版，2017.

[3] 教育部考試中心，2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱[Z].2017.

[責任編輯：金 鈴]