2017年高考全國l卷理科20題的分析與探究

冷東輝

高考全國卷中解析幾何解答題是每年必考的內容，直線與圓錐曲線的位置關系中有關定點定值問題頻頻出現，對學生而言，期望的是：這類試題如何求解的？是否有方法可依？對教師而言，關注的是：這類試題是怎樣命制的？是否有規律可循？現對2017年高考全國I卷理第20題進行分析探究，希望能對一線教師的教學提供參考.

2 試題解析

本題條件簡單清晰，表述言簡意賅，具有“低起點、寬入口、多層次、好區分”的特點，本題考查橢圓的概念、標準方程和幾何性質以及直線與橢圓的位置關系，考查數形結合思想、函數與方程思想、等價轉化思想、分類與整合思想等數學思想方法，考查推理論證能力和運算求解能力，

本題第（1）問是解析幾何常見的待定系數法求曲線方程問題，設問較新穎，考查橢圓的基本知識，涉及的是解析幾何的最基本方法，難度不高，不同層次的考生皆可以順利解決問題，試題第（2）問的證明過程涉及的變量雖然很多，但應用的是解析幾何基本知識與基本思想，本題注重通性通法，既為不同基礎和能力的考生搭建能力活動平臺，也使解析幾何的思想方法在解答過程中得以完整展示，比較充分地考查了考生的邏輯思維能力、應用解析幾何的思想解決問題的能力以及代數運算的能力，

考生的典型錯誤有以下方面：

（1）粗心審題：在第（1）問中，將四點P1，P2，P3，P4四點都代入橢圓方程，并正確求出a，b，沒對P1的位置作出說明;

（3）邏輯思維不嚴密：在第（2）問中，未討論直線l與x軸垂直的情形，缺少分類討論的思想，只考慮用韋達定理，沒有考慮到判別式是否大于0這個前提.

探究是數學教學的生命線，定點定值問題是揭示幾何運動變化中的不變量問題，展示了數學的美，本題第（2）問有較好的探究價值，是非常不錯的訓練素材，在日常教學中我們教師要給予充分的重視，下面從不同的角度進行變式探究，尋求在動態的“變”中隱含定點定值“不變”的問題.

3 變式探究

（1）如果把該題中的“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”，改變為“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為l”，直線l是否過定點？

（2）如果把該題中的“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”，改變為“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為0”，直線l是否過定點？

（3）如果把該題中的“設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-l”，改變為“設直線l不經過P4點且與C相交于A，B兩點，若直線P4A與直線P4B的斜率之和為-l”，直線l是否過定點？

（4）如果把該題中的“設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-l”，改變為“設直線，不經過P4點且與C相交于A，B兩點，若直線P4A與直線P4B的斜率之和為l”，直線，是否過定點？

（5）如果把該題中的“設直線7不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為一l”，改變為“設直線l不經過P4點且與C相交于A，B兩點，若直線P4A與直線P4B的斜率之和為0”，直線l是否過定點？

數學教育家波利亞說過“在你找到第一個蘑菇時繼續觀察，就能發現一堆蘑菇”，由題目中斜率之和為-l我們猜想斜率和為0或l時結論是否也成立，進而猜想斜率之和為任意實數λ時是否可得出一致結論，然后再由橢圓上一個定點P2過渡到橢圓上另一點P4、任意一點P，再將上述猜想應用到橢圓的一般形式中，得到一系列變式，探究能否得出一般性結論，變式逐步深入，由易到難，體現著由特殊到一般的數學推理思想，試題的演變過程不僅符合學生邏輯思維的發展過程，也引導學生掌握處理此類問題的基本方法，大膽假設，小心求證，明澈思維，啟迪心智.

5 試題啟示

從近幾年的高考全國卷來看，解析幾何試題總是源于教材高于教材，又能給人似曾相識的感覺，因此，在日常教學中教師應立足于教材，精選典型的例題習題，進行變式、延伸、拓展，加強對數學問題的深入探究，波利亞說過：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力，”這種思想的實質就是變式教學思想，通過變式教學，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探求“變”的規律，通過變式教學讓學生對問題進行多角度、多層次的拓展和探究，使學生在解決數學問題時能夠舉一反三，會思考、會拓展，變式的方面包括問題的弱化強化、問題的正反面互換、問題的縱橫向類比、問題的特殊和一般，總之，采用變式教學，引導學生對問題進行靈活變換，可使學生觸類旁通，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，進而提高學生的數學核心素養.